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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema que temos é calcular a integral de $ \frac{1}{\sin^{2}x \cos^{2}x} $ em relação a $ x $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo identidades trigonométricas e técnicas de integração por substituição. Vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Queremos expressar $ \sin{x} \cos{x} $ em termos de $ \sin{2x} $. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por 2:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para conseguir $ \sin^{2}{x} \cos^{2}{x} $:
Passo 3
Substituindo isso na integral original, temos:
Então, simplificamos para:
Passo 4
Agora, vamos lidar com a integral $ \int \frac{1}{\sin^{2}{2x}} , dx $. Sabemos que:
E a integral de $ \csc^{2}{u} $ em relação a $ u $ é:
No nosso caso, $ u = 2x $, então usamos a substituição.
Passo 5
Fazendo a substituição:
Substituindo na integral:
Agora, aplicamos a integral de $ \csc^{2}{u} $:
Passo 6
Finalmente, substituímos $ u = 2x $ de volta:
Resposta
A integral é igual a $ -2 \cot{2x} + C $, onde $ C $ é a constante de integração.