(k2) integral 1sin ^2 x cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema que temos é calcular a integral de $ \frac{1}{\sin^{2}x \cos^{2}x} $ em relação a $ x $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo identidades trigonométricas e técnicas de integração por substituição. Vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
sin2x = 2 sinx cosx
Queremos expressar $ \sin{x} \cos{x} $ em termos de $ \sin{2x} $. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por 2:
sinx cosx
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para conseguir $ \sin^{2}{x} \cos^{2}{x} $:
sin2x

Passo 3

Substituindo isso na integral original, temos:
integral 1sin^2x cos^2x , dx = integral 1sin^22x4 , dx = integral 4sin^22x , dx
Então, simplificamos para:
4 integral 1sin^22x , dx

Passo 4

Agora, vamos lidar com a integral $ \int \frac{1}{\sin^{2}{2x}} , dx $. Sabemos que:
integral 1sin^22x , dx
E a integral de $ \csc^{2}{u} $ em relação a $ u $ é:
1sin^2u = csc^2u
No nosso caso, $ u = 2x $, então usamos a substituição.

Passo 5

Fazendo a substituição:
u = 2x Rightarrow du = 2 , dx Rightarrow dx = du2
Substituindo na integral:
4 integral 1sin^22x , dx = 4 integral csc^2u cdot du2 = 2 integral csc^2u , du
Agora, aplicamos a integral de $ \csc^{2}{u} $:
csc^2u

Passo 6

Finalmente, substituímos $ u = 2x $ de volta:
u = 2x

Resposta

A integral é igual a $ -2 \cot{2x} + C $, onde $ C $ é a constante de integração.

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