Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado:
(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
(b) Encontre, também, a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\4 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Encontrar uma matriz fundamental para o sistema homogêneo de equações lineares:
(b) Encontrar a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz a condição inicial \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix},
e o sistema linear homogêneo é \mathbf{x}'=A\mathbf{x}.]
Passo 2
O que é uma matriz fundamental? Vou explicar bem devagar: para um sistema linear homogêneo \mathbf{x}'=A\mathbf{x} de dimensão 2, uma matriz fundamental X(t) é uma matriz 2\times2 cujas colunas são duas soluções linearmente independentes do sistema. Ou seja, se x^{(1)}(t) e x^{(2)}(t) são soluções independentes, então
X(t)=\big[\,x^{(1)}(t)\;,\;x^{(2)}(t)\,\big]
é uma matriz fundamental. Toda solução geral é \mathbf{x}(t)=X(t)\mathbf{c} para algum vetor constante \mathbf{c}. Para sistemas com coeficientes constantes, um método eficiente é achar autovalores \lambda e autovetores v de A; então e^{\lambda t}v é solução.
Passo 3
Vamos achar os autovalores de A. Eles vêm da equação característica \det(A-\lambda I)=0. Calculo passo a passo: