Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado:
(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
(b) Encontre, também, a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
\mathbf{x}^{\prime}=\left( \begin{array}{rr}1 & 1 \\4 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Encontrar uma matriz fundamental para o sistema homogêneo de equações lineares:
\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix}\mathbf{x}.
  1. (b) Encontrar a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz a condição inicial \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix},
e o sistema linear homogêneo é \mathbf{x}'=A\mathbf{x}.]

Passo 2

O que é uma matriz fundamental? Vou explicar bem devagar: para um sistema linear homogêneo \mathbf{x}'=A\mathbf{x} de dimensão 2, uma matriz fundamental X(t) é uma matriz 2\times2 cujas colunas são duas soluções linearmente independentes do sistema. Ou seja, se x^{(1)}(t) e x^{(2)}(t) são soluções independentes, então
X(t)=\big[\,x^{(1)}(t)\;,\;x^{(2)}(t)\,\big]
é uma matriz fundamental. Toda solução geral é \mathbf{x}(t)=X(t)\mathbf{c} para algum vetor constante \mathbf{c}. Para sistemas com coeficientes constantes, um método eficiente é achar autovalores \lambda e autovetores v de A; então e^{\lambda t}v é solução.

Passo 3

Vamos achar os autovalores de A. Eles vêm da equação característica \det(A-\lambda I)=0. Calculo passo a passo:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]4 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
Expando o determinante:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(-2-\lambda)-4\cdot 1.
Desenvolvendo:
(1-\lambda)(-2-\lambda)=-2+\lambda+\lambda^2,
então
\det(A-\lambda I)=\lambda^2+\lambda-6.
Igualando a zero:
\lambda^2+\lambda-6=0.
Resolve a quadrática: discriminante \Delta=1+24=25, então
\lambda=\frac{-1\pm5}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_1=2,\qquad \lambda_2=-3.]

Passo 4

Agora achamos autovetores correspondentes.
Para \lambda_1=2 resolvemos (A-2I)v=0:
A-2I=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]4 & -4\end{pmatrix}.
A primeira linha dá -v_1+v_2=0\Rightarrow v_2=v_1. Posso escolher v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-3 resolvemos (A+3I)v=0:
A+3I=\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}.
A primeira linha dá 4v_1+v_2=0\Rightarrow v_2=-4v_1. Escolho v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\end{pmatrix}.]

Passo 5

Cada autovetor gera uma solução do sistema dada por e^{\lambda t}v. Assim temos duas soluções independentes:
x^{(1)}(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad x^{(2)}(t)=e^{-3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
Portanto uma matriz fundamental X(t) pode ser tomada colocando essas soluções como colunas:
X(t)=\begin{pmatrix} e^{2t} & e^{-3t}\\[6pt] e^{2t} & -4e^{-3t} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verifico que as colunas são linearmente independentes (só para garantir que X(t) é realmente fundamental). Calculo o determinante de X(t):
\det X(t)=e^{2t}\cdot(-4e^{-3t})-e^{2t}\cdot e^{-3t}=-5e^{2t}e^{-3t}=-5e^{-t}.
Como e^{-t}\neq0 para todo t, \det X(t)\neq0 para todo t; logo as colunas são independentes e X(t) é uma matriz fundamental válida.

Passo 7

Agora quero a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}. Uma forma direta é usar a relação
\boldsymbol{\Phi}(t)=X(t)X(0)^{-1},
pois X(0) é inversível (já que \det X(0)=-5\neq0). Primeiro avalio X(0):
X(0)=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -4\end{pmatrix}.
Calculo sua inversa com cuidado. O determinante é \det X(0)=-5. A inversa de uma 2\times2 é
X(0)^{-1}=\frac{1}{\det X(0)}\begin{pmatrix}-4 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4/5 & 1/5\\[4pt]1/5 & -1/5\end{pmatrix}.]

Passo 8

Multiplico X(t) por X(0)^{-1}. Para facilitar, chamo a=e^{2t} e b=e^{-3t}. Então
X(t)=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]a & -4b\end{pmatrix},\qquad X(0)^{-1}=\begin{pmatrix}4/5 & 1/5\\[4pt]1/5 & -1/5\end{pmatrix}.
Faço a multiplicação matricial (mostrando os passos):
\boldsymbol{\Phi}(t)=X(t)X(0)^{-1}= \begin{pmatrix} a\cdot\tfrac{4}{5}+b\cdot\tfrac{1}{5} & a\cdot\tfrac{1}{5}+b\cdot\big(-\tfrac{1}{5}\big)\\[6pt] a\cdot\tfrac{4}{5}+(-4b)\cdot\tfrac{1}{5} & a\cdot\tfrac{1}{5}+(-4b)\cdot\big(-\tfrac{1}{5}\big) \end{pmatrix}.
Simplifico cada entrada:
\boldsymbol{\Phi}(t)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4a+b & a-b\\[6pt] 4(a-b) & a+4b \end{pmatrix}.
Voltando a a=e^{2t} e b=e^{-3t}, escrevo explicitamente:
\boldsymbol{\Phi}(t)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4e^{2t}+e^{-3t} & e^{2t}-e^{-3t}\\[6pt] 4\bigl(e^{2t}-e^{-3t}\bigr) & e^{2t}+4e^{-3t} \end{pmatrix}.]

Passo 9

Verifico rapidamente a condição inicial: em t=0 temos e^{2\cdot0}=e^{-3\cdot0}=1, então
\boldsymbol{\Phi}(0)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4+1 & 1-1\\[4pt]4(1-1) & 1+4\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
ou seja, \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I} como exigido.]

Resposta

(a) X(t)=\begin{pmatrix}e^{2t} & e^{-3t}\\[4pt]e^{2t} & -4e^{-3t}\end{pmatrix}.
(b) \boldsymbol{\Phi}(t)=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4e^{2t}+e^{-3t} & e^{2t}-e^{-3t}\\[6pt]4\bigl(e^{2t}-e^{-3t}\bigr) & e^{2t}+4e^{-3t}\end{pmatrix}.]

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