Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado:
(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
(b) Encontre, também, a matriz fundamental
que satisfaz
.
\mathbf{x}^{\prime}=\left(
\right) \mathbf{x}
(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
(b) Encontre, também, a matriz fundamental
\mathbf{x}^{\prime}=\left(
Passo 1
O enunciado pede duas coisas relacionadas ao sistema linear homogêneo
As perguntas são:
- (a) Encontrar uma matriz fundamental qualquer para esse sistema (isto é, uma matriz cujas colunas sejam duas soluções linearmente independentes).
- (b) Encontrar a matriz fundamental
que satisfaz .
Informações dadas:
Nenhuma outra informação é fornecida.]
Passo 2
Vou usar a abordagem por autovalores/autovetores (quando for conveniente) para produzir soluções. Primeiro calculamos o polinômio característico de
. O polinômio é
Calculamos essa determinante:
Agora expandimos:
Logo o polinômio característico é
.]
Passo 3
Encontramos os autovalores resolvendo
. Assim
ou seja, temos autovalores complexos conjugados
e
. Quando aparecem autovalores complexos, a estratégia é:
- encontrar um autovetor complexo
correspondente a ; - construir a solução complexa
; - separar partes real e imaginária de
para obter duas soluções reais independentes.
Passo 4
Calculamos um autovetor para
. Resolvemos
, ou seja
Da primeira equação
, obtemos
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
para simplificar,
Tomando
por conveniência, um autovetor correspondente é
Passo 5
A solução complexa associada é
Usamos
e multiplicamos:
para a primeira componente:
para a primeira componente:
para a segunda componente:
Portanto a parte real e a parte imaginária de
são duas soluções reais do sistema:
Passo 6
Como
e
são linearmente independentes (verificável pelo Wronskiano), podemos formar uma matriz fundamental
colocando essas soluções como colunas:
Uma checagem rápida do determinante de
confirma independência:
Portanto
é mesmo uma matriz fundamental (responde à parte (a)).]
Passo 7
Para obter a matriz fundamental
com
(parte (b)), usamos que qualquer outra matriz fundamental
está relacionada por
onde
é a constante invertível tal que
. Assim
. Calculamos
:
O determinante de
é
. Logo a inversa é
Passo 8
Agora calculamos
. Multiplicando
obtemos, realizando a multiplicação de matrizes,
para a primeira coluna de :
para a primeira coluna de
para a segunda coluna de
:
Portanto
Verificação rápida: em
temos
, e
(coerente com
).]
Resposta
(a)
(b)
]