Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado:
(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
(b) Encontre, também, a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
\mathbf{x}^{\prime}=\left( \begin{array}{ll}2 & -5 \\1 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas relacionadas ao sistema linear homogêneo
\mathbf{x}' = A\mathbf{x},\qquad A=\begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}.
As perguntas são:
  1. (a) Encontrar uma matriz fundamental qualquer para esse sistema (isto é, uma matriz cujas colunas sejam duas soluções linearmente independentes).
  2. (b) Encontrar a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
Informações dadas:
\;A=\begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}.
Nenhuma outra informação é fornecida.]

Passo 2

Vou usar a abordagem por autovalores/autovetores (quando for conveniente) para produzir soluções. Primeiro calculamos o polinômio característico de A. O polinômio é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -5 \\[4pt] 1 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
Calculamos essa determinante:
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-5)(1).
Agora expandimos:
(2-\lambda)(-2-\lambda)+5 = -(4 +2\lambda -2\lambda +\lambda^2)+5 = \lambda^2 +1.
Logo o polinômio característico é \lambda^2+1.]

Passo 3

Encontramos os autovalores resolvendo \lambda^2+1=0. Assim
\lambda = \pm i,
ou seja, temos autovalores complexos conjugados i e -i. Quando aparecem autovalores complexos, a estratégia é:
  • encontrar um autovetor complexo v correspondente a \lambda=i;
  • construir a solução complexa \mathbf{z}(t)=e^{i t}v;
  • separar partes real e imaginária de \mathbf{z}(t) para obter duas soluções reais independentes.

Passo 4

Calculamos um autovetor para \lambda=i. Resolvemos (A-iI)v=0, ou seja
\begin{pmatrix}2-i & -5 \\[4pt] 1 & -2-i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira equação (2-i)v_1 -5 v_2=0, obtemos
v_1 = \frac{5}{2-i} v_2.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 2+i para simplificar,
\frac{5}{2-i}=\frac{5(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{5(2+i)}{4+1}=(2+i).
Tomando v_2=1 por conveniência, um autovetor correspondente é
v=\begin{pmatrix}2+i\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

A solução complexa associada é
\mathbf{z}(t)=e^{i t}v = e^{i t}\begin{pmatrix}2+i\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Usamos e^{i t}=\cos t + i\sin t e multiplicamos:
para a primeira componente:
(2+i)(\cos t + i\sin t) = (2\cos t - \sin t) + i(2\sin t + \cos t),
para a segunda componente:
1\cdot(\cos t + i\sin t)=\cos t + i\sin t.
Portanto a parte real e a parte imaginária de \mathbf{z}(t) são duas soluções reais do sistema:
\mathbf{u}_1(t)=\Re(\mathbf{z}(t))=\begin{pmatrix}2\cos t - \sin t\\[4pt]\cos t\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{u}_2(t)=\Im(\mathbf{z}(t))=\begin{pmatrix}2\sin t + \cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix}.]

Passo 6

Como \mathbf{u}_1(t) e \mathbf{u}_2(t) são linearmente independentes (verificável pelo Wronskiano), podemos formar uma matriz fundamental X(t) colocando essas soluções como colunas:
X(t)=\begin{pmatrix}2\cos t - \sin t & 2\sin t + \cos t\\[6pt] \cos t & \sin t\end{pmatrix}.
Uma checagem rápida do determinante de X(t) confirma independência:
\det X(t)=(2\cos t - \sin t)\sin t - (2\sin t + \cos t)\cos t = -(\sin^2 t+\cos^2 t)=-1\neq 0.
Portanto X(t) é mesmo uma matriz fundamental (responde à parte (a)).]

Passo 7

Para obter a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) com \boldsymbol{\Phi}(0)=I (parte (b)), usamos que qualquer outra matriz fundamental \Phi(t) está relacionada por
\Phi(t)=X(t)C,
onde C é a constante invertível tal que \Phi(0)=X(0)C=I. Assim C=X(0)^{-1}. Calculamos X(0):
X(0)=\begin{pmatrix}2\cdot1-0 & 0+1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
O determinante de X(0) é \det X(0)=2\cdot0-1\cdot1=-1. Logo a inversa é
X(0)^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora calculamos \boldsymbol{\Phi}(t)=X(t)X(0)^{-1}. Multiplicando
X(t)=\begin{pmatrix}2\cos t - \sin t & 2\sin t + \cos t\\[6pt] \cos t & \sin t\end{pmatrix}, \qquad X(0)^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix},
obtemos, realizando a multiplicação de matrizes,
para a primeira coluna de \Phi(t):
\begin{pmatrix} (2\cos t-\sin t)\cdot 0 + (2\sin t+\cos t)\cdot 1 \\[4pt] \cos t\cdot 0 + \sin t\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\sin t + \cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix},
para a segunda coluna de \Phi(t):
\begin{pmatrix} (2\cos t-\sin t)\cdot 1 + (2\sin t+\cos t)\cdot(-2) \\[4pt] \cos t\cdot 1 + \sin t\cdot(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\sin t\\[4pt]\cos t -2\sin t\end{pmatrix}.
Portanto
\boldsymbol{\Phi}(t)=\begin{pmatrix}\cos t + 2\sin t & -5\sin t\\[6pt] \sin t & \cos t -2\sin t\end{pmatrix}.
Verificação rápida: em t=0 temos \boldsymbol{\Phi}(0)=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}, e \det\boldsymbol{\Phi}(t)=1 (coerente com \det\Phi(t)=e^{(\operatorname{tr}A)t}=e^{0\cdot t}=1).]

Resposta

(a) X(t)=\begin{pmatrix}2\cos t - \sin t & 2\sin t + \cos t\\[6pt]\cos t & \sin t\end{pmatrix}.
(b) \boldsymbol{\Phi}(t)=\begin{pmatrix}\cos t + 2\sin t & -5\sin t\\[6pt]\sin t & \cos t -2\sin t\end{pmatrix}.]

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