Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado:
(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
(b) Encontre, também, a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}-1 & -4 \\1 & -1\end{array}\right) \mathbf{x}
Breve explicação didática do que vamos fazer (sem pular etapas):
Uma matriz fundamental X(t) tem colunas formadas por duas soluções independentes do sistema. Se conseguirmos duas soluções reais linearmente independentes x^{(1)}(t) e x^{(2)}(t), então
X(t)=\big[\,x^{(1)}(t)\;,\;x^{(2)}(t)\,\big]
é uma matriz fundamental.
Para sistemas lineares com coeficientes constantes costuma-se buscar soluções da forma x(t)=e^{\lambda t}v, onde \lambda e v satisfazem (A-\lambda I)v=0. As \lambda são autovalores (raízes do polinômio característico) e v são autovetores.
Se os autovalores forem complexos conjugados \alpha\pm i\beta com autovetor complexo correspondente, então as partes real e imaginária de e^{(\alpha+i\beta)t}v produzem duas soluções reais independentes. Isso vem de e^{(\alpha+i\beta)t}=e^{\alpha t}(\cos\beta t + i\sin\beta t) (fórmula de Euler). Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular o polinômio característico de A e achar os autovalores:
Do sistema \begin{cases}-2i v_1 -4 v_2=0 \\[2pt] v_1 -2i v_2=0\end{cases}\] (as duas equações são proporcionais), da primeira obtemos
\[-2i v_1 = 4 v_2 \quad\Rightarrow\quad v_1=\frac{4}{-2i}v_2 = \frac{-2}{i}v_2.\]
Lembrando que \(\frac{1}{i}=-i, temos \frac{-2}{i} = -2(-i)=2i. Portanto v_1=2i v_2. Escolhendo v_2=1 (liberdade de escala), um autovetor é