- (IFPI) O lucro semanal (em reais) de uma empresa em relação a um certo produto é dado por
, onde
é a quantidade semanal vendida desse produto. Sendo assim, qual o maior lucro possível que essa empresa pode obter?
a)
8090,00$
b)
8080,00$
c)
8070,00$
d)
8060,00$
e)
8050,00$
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a função lucro semanal
e pede o maior lucro possível. Dados e perguntas que extraí do enunciado:
- Função lucro:
. - A variável
é a quantidade semanal vendida (não precisamos pedir mais informações). - Pergunta: qual é o maior lucro possível (ou seja, o valor máximo de
)?
Passo 2
Entendendo o que procurar (ideia principal, sem calcular ainda). Uma função quadrática geral tem forma
. Aqui
,
,
.
- Quando
(como aqui, ), o gráfico é uma parábola com “boca para baixo” e, portanto, tem um único valor máximo: o valor no vértice da parábola. - O vértice tem coordenada horizontal
e o valor máximo é . Outra forma direta de achar o valor máximo é reescrever a quadrática na forma canônica (completando o quadrado), que mostra o valor máximo explicitamente. Vou usar completar o quadrado porque é um procedimento elementar e mostra claramente por que é máximo.
Passo 3
Vamos completar o quadrado passo a passo. Começo com
Fatoramos o coeficiente
dos dois primeiros termos:
Simplificando a fração
, temos
Passo 4
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. A metade do coeficiente de
dentro do parêntese é
. Então
Substituindo de volta em
:
Passo 5
Distribuímos o
e simplificamos o termo constante que aparece:
Calculemos
. Primeiro
. Então
Portanto
Passo 6
Somando os termos constantes:
Assim obtemos a forma canônica
Dessa forma fica claro: o termo
é sempre menor ou igual a
(porque é
vezes um quadrado), e ele é zero exatamente quando
. Logo o valor máximo de
é o termo constante
, atingido em
.
Passo 7
Resumo do raciocínio prático (o que eu faria na prova, rapidinho):
- Identifico
, então há um máximo. - Completo o quadrado ou uso
para achar a abscissa do vértice ( ). - Avalio
no vértice (ou observo a forma canônica) e encontro .
Você também pode usar a fórmula direta do valor do vértice:
que dá aqui
, mesma resposta.