1. (IFPI) O lucro semanal (em reais) de uma empresa em relação a um certo produto é dado por L(x)=-16 x^{2}+180 x+4000, onde x é a quantidade semanal vendida desse produto. Sendo assim, qual o maior lucro possível que essa empresa pode obter?
    a) \mathrm{R} \ 8090,00$
    b) \mathrm{R} \ 8080,00$
    c) \mathrm{R} \ 8070,00$
    d) \mathrm{R} \ 8060,00$
    e) \mathrm{R} \ 8050,00$

Passo 1

O enunciado dá a função lucro semanal L(x) e pede o maior lucro possível. Dados e perguntas que extraí do enunciado:
  • Função lucro: L(x)=-16x^{2}+180x+4000.
  • A variável x é a quantidade semanal vendida (não precisamos pedir mais informações).
  • Pergunta: qual é o maior lucro possível (ou seja, o valor máximo de L(x))?

Passo 2

Entendendo o que procurar (ideia principal, sem calcular ainda). Uma função quadrática geral tem forma \displaystyle ax^{2}+bx+c. Aqui a=-16, b=180, c=4000.
  • Quando a<0 (como aqui, a=-16), o gráfico é uma parábola com “boca para baixo” e, portanto, tem um único valor máximo: o valor no vértice da parábola.
  • O vértice tem coordenada horizontal \displaystyle x_v=-\frac{b}{2a} e o valor máximo é L(x_v). Outra forma direta de achar o valor máximo é reescrever a quadrática na forma canônica (completando o quadrado), que mostra o valor máximo explicitamente. Vou usar completar o quadrado porque é um procedimento elementar e mostra claramente por que é máximo.

Passo 3

Vamos completar o quadrado passo a passo. Começo com
L(x)=-16x^{2}+180x+4000.
Fatoramos o coeficiente -16 dos dois primeiros termos:
L(x)=-16\left(x^{2}-\frac{180}{16}x\right)+4000.
Simplificando a fração \dfrac{180}{16}=\dfrac{45}{4}, temos
L(x)=-16\left(x^{2}-\frac{45}{4}x\right)+4000.

Passo 4

Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. A metade do coeficiente de x dentro do parêntese é \dfrac{45}{8}. Então
x^{2}-\frac{45}{4}x = \left(x-\frac{45}{8}\right)^{2} - \left(\frac{45}{8}\right)^{2}.
Substituindo de volta em L(x):
L(x)=-16\left[\left(x-\frac{45}{8}\right)^{2} - \left(\frac{45}{8}\right)^{2}\right]+4000.

Passo 5

Distribuímos o -16 e simplificamos o termo constante que aparece:
L(x)=-16\left(x-\frac{45}{8}\right)^{2} + 16\left(\frac{45}{8}\right)^{2} + 4000.
Calculemos \displaystyle 16\left(\frac{45}{8}\right)^{2}. Primeiro \displaystyle \left(\frac{45}{8}\right)^{2}=\frac{2025}{64}. Então
16\cdot\frac{2025}{64}=\frac{16}{64}\cdot2025=\frac{1}{4}\cdot2025=506{,}25.
Portanto
L(x)=-16\left(x-\frac{45}{8}\right)^{2} + 506{,}25 + 4000.

Passo 6

Somando os termos constantes:
506{,}25 + 4000 = 4506{,}25.
Assim obtemos a forma canônica
L(x)=-16\left(x-\frac{45}{8}\right)^{2} + 4506{,}25.
Dessa forma fica claro: o termo -16\left(x-\frac{45}{8}\right)^{2} é sempre menor ou igual a 0 (porque é -16 vezes um quadrado), e ele é zero exatamente quando x=\dfrac{45}{8}. Logo o valor máximo de L(x) é o termo constante 4506{,}25, atingido em x=\dfrac{45}{8}=5{,}625.

Passo 7

Resumo do raciocínio prático (o que eu faria na prova, rapidinho):
  • Identifico a=-16<0, então há um máximo.
  • Completo o quadrado ou uso x_v=-\dfrac{b}{2a} para achar a abscissa do vértice ( x_v=\dfrac{45}{8}).
  • Avalio L no vértice (ou observo a forma canônica) e encontro L_{\max}=4506{,}25.
    Você também pode usar a fórmula direta do valor do vértice:
L_{\max}=c-\frac{b^{2}}{4a},
que dá aqui 4000-\dfrac{180^{2}}{4\cdot(-16)}=4000+506{,}25=4506{,}25, mesma resposta.

Resposta

\text{R\$ }4506{,}25

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