Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado:
(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
(b) Encontre, também, a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}5 & -1 \\3 & 1\end{array}\right) \mathbf{x}
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de coeficientes constantes e pede duas coisas:
(a) uma matriz fundamental para o sistema
(b) a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}
Portanto precisamos encontrar duas soluções fundamentais (linearmente independentes) do sistema e montar a matriz cujas colunas são essas soluções; em seguida normalizar para obter a solução com condição inicial identidade.]
Passo 2
O método que vamos usar é diagonalizar A por autovalores e autovetores (quando possível). Breve explicação didática do porquê: se v é um autovetor de A associado ao autovalor \lambda, então a função
Duas soluções obtidas por autovetores linearmente independentes formam uma base de soluções; a matriz formada por essas colunas é uma matriz fundamental.
Passo 3
Calcular os autovalores de A resolvendo o polinômio característico:
Verificação de independência (Wronskiano): o determinante de X(t) é
\det X(t)=e^{2t}\cdot e^{4t}-3e^{2t}\cdot e^{4t}=e^{6t}(1-3)=-2e^{6t}\neq 0\quad\text{para todo }t,
logo as colunas são sempre linearmente independentes e X(t) é realmente uma matriz fundamental.]
Passo 6
Agora queremos a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
Procedimento: se X(t) é qualquer matriz fundamental, a matriz com condição inicial identidade é