Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado:
(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
(b) Encontre, também, a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 4 \\3 & 2 & -1 \\2 & 1 & -1\end{array}\right) \mathbf{x}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o sistema linear
(a) Encontrar uma matriz fundamental do sistema (ou seja, uma matriz cujas colunas são três soluções linearmente independentes).
(b) Encontrar a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I} (isto é, encontrar e^{At}).
Informações dadas: a matriz A apresentada acima. Não há outras informações externas.]
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): como A é uma matriz quadrada, a maneira mais direta é calcular autovalores e autovetores de A. Se os autovalores forem distintos, A é diagonalizável e podemos:
construir uma matriz fundamental com colunas \mathrm{e}^{\lambda t}v (cada coluna é um autovetor multiplicado por \mathrm{e}^{\lambda t});
obter \boldsymbol{\Phi}(t)=\mathrm{e}^{At}=S\mathrm{e}^{Dt}S^{-1} com S de autovetores e D diagonal com autovalores.
Agora vamos ao cálculo efetivo.
Passo 3
Cálculo do polinômio característico \det(A-\lambda I). Montamos A-\lambda I:
Construção de uma matriz fundamental simples (resposta da parte (a)). Cada autovetor gera uma solução \mathbf{x}(t)=\mathrm{e}^{\lambda t}v. Portanto uma matriz cujas colunas são essas soluções é
Agora calculamos \boldsymbol{\Phi}(t)=S\mathrm{e}^{Dt}S^{-1} multiplicando explicitamente (faço cada produto interno; mostrei os cálculos no rascunho e aqui apresento o resultado simplificado). O resultado é