- Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial abaixo e pede a solução
:
Informações fornecidas:
O que é pedido: encontrar explicitamente
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicação amigável): vou procurar autovalores (eigenvalues) e autovetores (eigenvectors) da matriz
e escrever a solução como combinação linear de vetores próprios multiplicados por exponenciais. Por que isso funciona? Se
tem dois autovalores reais distintos, existem dois autovetores linearmente independentes que formam base de
. Então qualquer solução é combinação linear de soluções do tipo
, onde
é autovalor e
é autovetor. Esta é a forma padrão e prática para sistemas lineares constantes
. Vou seguir esse caminho passo a passo.
Passo 3
Encontrar o polinômio característico de
. O polinômio característico é dado por
. Calculo:
O determinante de uma matriz
é
. Aplicando isso:
Passo 4
Desenvolver e simplificar o polinômio característico:
(portanto somando o
do termo
),
Assim o polinômio característico é
, cujas raízes (os autovalores) são
Passo 5
Encontrar um autovetor associado a
A equação
dá, para
,
Ambas as equações são equivalentes a
, então um autovetor correspondente é
Passo 6
Encontrar um autovetor associado a
A equação
dá
ou seja
, então um autovetor é
Passo 7
Escrever a solução geral usando os autovalores e autovetores. Quando temos dois autovalores reais distintos
e
com autovetores
e
, a solução geral do sistema é
onde
são constantes a determinar pela condição inicial. Aqui
e
. Então
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para determinar
e
. Em
temos:
Isto gera o sistema linear para
:
Passo 9
Resolver o sistema para
e
. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Logo
Substituindo na primeira equação
,
Passo 10
Escrever a solução particular com os valores de
e
. Substituindo em
, obtemos:
Posso também escrever as componentes separadas (às vezes é mais fácil para conferir):
Passo 11
Verificação rápida no caso
para checar a condição inicial:
o que confere com
. Tudo certo!