1. Resolva o problema de valor inicial
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{array}\right) \mathbf{x}, \quad \mathbf{x}(0)=\binom{2}{-1}

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial abaixo e pede a solução \mathbf{x}(t):
\mathbf{x}^{\prime}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix}\mathbf{x},\qquad \mathbf{x}(0)=\binom{2}{-1}.
Informações fornecidas:
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
O que é pedido: encontrar explicitamente \mathbf{x}(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicação amigável): vou procurar autovalores (eigenvalues) e autovetores (eigenvectors) da matriz A e escrever a solução como combinação linear de vetores próprios multiplicados por exponenciais. Por que isso funciona? Se A tem dois autovalores reais distintos, existem dois autovetores linearmente independentes que formam base de \mathbb{R}^2. Então qualquer solução é combinação linear de soluções do tipo e^{\lambda t}\mathbf{v}, onde \lambda é autovalor e \mathbf{v} é autovetor. Esta é a forma padrão e prática para sistemas lineares constantes \mathbf{x}' = A\mathbf{x}. Vou seguir esse caminho passo a passo.

Passo 3

Encontrar o polinômio característico de A. O polinômio característico é dado por \det(A-\lambda I). Calculo:
\det\!\big(A-\lambda I\big)=\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\[4pt]3 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} é ad-bc. Aplicando isso:
\det\!\big(A-\lambda I\big)=(2-\lambda)(-2-\lambda)-(-1)\cdot 3.]

Passo 4

Desenvolver e simplificar o polinômio característico:
(2-\lambda)(-2-\lambda)=-4+\lambda^2
(portanto somando o +3 do termo -(-1)\cdot3),
\det\!\big(A-\lambda I\big)=\lambda^2-1.
Assim o polinômio característico é \lambda^2-1=0, cujas raízes (os autovalores) são
\lambda=\pm 1.

Passo 5

Encontrar um autovetor associado a \lambda=1\). Devemos resolver \((A-I)\mathbf{v}=0\). Escrevo: \[A-I=\begin{pmatrix}2-1 & -1\\[4pt]3 & -2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]3 & -3\end{pmatrix}.
A equação (A-I)\mathbf{v}=0 dá, para \mathbf{v}=(v_1,v_2)^T,
\begin{cases} v_1-v_2=0,\\[4pt] 3v_1-3v_2=0. \end{cases}
Ambas as equações são equivalentes a v_1=v_2\]. Posso escolher \(v_1=1, então um autovetor correspondente é
\mathbf{v}^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Encontrar um autovetor associado a \lambda=-1\). Resolver \((A+I)\mathbf{v}=0\). Calculo: \[A+I=\begin{pmatrix}2+1 & -1\\[4pt]3 & -2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix}.
A equação (A+I)\mathbf{v}=0
\begin{cases} 3v_1-v_2=0,\\[4pt] 3v_1-v_2=0, \end{cases}
ou seja v_2=3v_1\]. Escolho \(v_1=1, então um autovetor é
\mathbf{v}^{(-1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Escrever a solução geral usando os autovalores e autovetores. Quando temos dois autovalores reais distintos \lambda_1 e \lambda_2 com autovetores \mathbf{v}^{(1)} e \mathbf{v}^{(2)}, a solução geral do sistema é
\mathbf{x}(t)=C_1 e^{\lambda_1 t}\mathbf{v}^{(1)} + C_2 e^{\lambda_2 t}\mathbf{v}^{(2)},
onde C_1,C_2 são constantes a determinar pela condição inicial. Aqui \lambda_1=1,\;\mathbf{v}^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} e \lambda_2=-1,\;\mathbf{v}^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}. Então
\mathbf{x}(t)=C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 8

Aplicar a condição inicial \mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix} para determinar C_1 e C_2. Em t=0 temos:
\mathbf{x}(0)=C_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Isto gera o sistema linear para C_1,C_2:
\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\[4pt] C_1 + 3C_2 = -1. \end{cases}]

Passo 9

Resolver o sistema para C_1 e C_2. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C_1+3C_2)-(C_1+C_2)= -1 - 2 \quad\Longrightarrow\quad 2C_2=-3.
Logo
C_2=-\tfrac{3}{2}.
Substituindo na primeira equação C_1+C_2=2,
C_1 = 2 - C_2 = 2 -\big(-\tfrac{3}{2}\big)=2+\tfrac{3}{2}=\tfrac{7}{2}.

Passo 10

Escrever a solução particular com os valores de C_1 e C_2. Substituindo em \mathbf{x}(t)=C_1 e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}+C_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}, obtemos:
\mathbf{x}(t)=\tfrac{7}{2}e^{t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}-\tfrac{3}{2}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Posso também escrever as componentes separadas (às vezes é mais fácil para conferir):
x_1(t)=\tfrac{7}{2}e^{t}-\tfrac{3}{2}e^{-t},\qquad x_2(t)=\tfrac{7}{2}e^{t}-\tfrac{9}{2}e^{-t}.]

Passo 11

Verificação rápida no caso t=0 para checar a condição inicial:
x_1(0)=\tfrac{7}{2}-\tfrac{3}{2}=2,\qquad x_2(0)=\tfrac{7}{2}-\tfrac{9}{2}=-1,
o que confere com \mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix}. Tudo certo!

Resposta

\mathbf{x}(t)=\tfrac{7}{2}e^{t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}-\tfrac{3}{2}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}]

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