Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
Encontre, também, a matriz fundamental boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
\mathrm{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}3 & -2 \\\\ 2 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo com coeficientes constantes e pede duas coisas:
  • Encontrar uma matriz fundamental para o sistema.
  • Encontrar a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
As informações fornecidas são:
\mathbf{x}' = A\mathbf{x},\qquad A=\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 2

Vou explicar qual método vamos usar sem pular etapas. Para sistemas lineares com matriz constante A, uma maneira padrão é procurar autovalores \lambda e autovetores \mathbf{v} de A. Se \lambda é autovalor e \mathbf{v} é autovetor, então
\mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}
é uma solução do sistema. Colocando em colunas soluções linearmente independentes obtemos uma matriz fundamental. Esse método funciona bem quando A tem duas autovetores linearmente independentes (caso de autovalores reais distintos). Agora vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Primeiro encontramos os autovalores de A calculando o polinômio característico \det(A-\lambda I).
A-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda & -2\\[4pt] 2 & -2-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(-2-\lambda)-(-2)\cdot 2.
Vou expandir com calma:
(3-\lambda)(-2-\lambda)=3(-2-\lambda)-\lambda(-2-\lambda)=-6-3\lambda+2\lambda+\lambda^2=\lambda^2-\lambda-6.
Somando o termo +4 (porque -(-2)\cdot2=+4) obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-\lambda-6+4=\lambda^2-\lambda-2.]

Passo 4

Resolvendo \lambda^2-\lambda-2=0:
\lambda=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm 3}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_1=2,\qquad \lambda_2=-1.

Passo 5

Agora encontramos autovetores.
Para \lambda_1=2 resolvemos (A-2I)\mathbf{v}=\mathbf{0}:
A-2I=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt] 2 & -4\end{pmatrix}.
A primeira equação dá 1\cdot v_1-2\cdot v_2=0, ou seja v_1=2v_2. Tomando v_2=1 obtemos um autovetor
\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-1 resolvemos (A+I)\mathbf{v}=\mathbf{0}:
A+I=\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
A primeira equação dá 4v_1-2v_2=0, ou 2v_1-v_2=0, isto é v_2=2v_1. Tomando v_1=1 obtemos
\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Os vetores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 são claramente linearmente independentes (não são múltiplos um do outro).]

Passo 6

Cada autovetor gera uma solução do tipo e^{\lambda t}\mathbf{v}. Assim duas soluções independentes são
\mathbf{x}^{(1)}(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}^{(2)}(t)=e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Colocando-as como colunas obtemos uma matriz solução (uma matriz fundamental qualquer):
X(t)=\begin{pmatrix}2e^{2t} & e^{-t}\\[4pt] e^{2t} & 2e^{-t}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verifico que X(t) é realmente fundamental checando se é invertível para todo t. Calculo o determinante:
\det X(t)= (2e^{2t})(2e^{-t}) - (e^{-t})(e^{2t}) = 4e^{t}-e^{t}=3e^{t}.
Como 3e^{t}\neq 0 para todo t, as colunas são sempre linearmente independentes e X(t) é uma matriz fundamental válida.

Passo 8

Agora vamos normalizar: queremos \boldsymbol{\Phi}(t) tal que \boldsymbol{\Phi}(0)=I. Se X(t) é uma matriz fundamental qualquer, então
\boldsymbol{\Phi}(t)=X(t)X(0)^{-1}
é a matriz fundamental que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=I. Primeiro calculemos X(0):
X(0)=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Determinante de X(0) é 2\cdot2-1\cdot1=3. Assim
X(0)^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 9

Multiplico X(t) por X(0)^{-1}. Para manter tudo claro, faço a multiplicação componente a componente:
\boldsymbol{\Phi}(t)=X(t)X(0)^{-1} =\begin{pmatrix}2e^{2t} & e^{-t}\\[4pt] e^{2t} & 2e^{-t}\end{pmatrix} \cdot\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
Calculo as entradas antes de fatorar \tfrac{1}{3}:
  • Entrada (1,1): 2e^{2t}\cdot 2 + e^{-t}\cdot(-1)=4e^{2t}-e^{-t}.
  • Entrada (1,2): 2e^{2t}\cdot(-1) + e^{-t}\cdot 2 = -2e^{2t}+2e^{-t}.
  • Entrada (2,1): e^{2t}\cdot 2 + 2e^{-t}\cdot(-1)=2e^{2t}-2e^{-t}.
  • Entrada (2,2): e^{2t}\cdot(-1) + 2e^{-t}\cdot 2 = -e^{2t}+4e^{-t}.
Agora coloco o fator \tfrac{1}{3}:
\boldsymbol{\Phi}(t)=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4e^{2t}-e^{-t} & -2e^{2t}+2e^{-t}\\[6pt] 2e^{2t}-2e^{-t} & -e^{2t}+4e^{-t} \end{pmatrix}.
Uma verificação rápida: em t=0 essa matriz vira \tfrac{1}{3}\begin{pmatrix}4-1 & -2+2\\[4pt] 2-2 & -1+4\end{pmatrix}=\tfrac{1}{3}\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}=I, como desejado.]

Passo 10

Recapitulando: uma matriz fundamental simples é X(t) com colunas as soluções exponenciais associadas aos autovetores; a matriz fundamental com condição inicial \boldsymbol{\Phi}(0)=I obtém-se multiplicando por X(0)^{-1}. Agora apresento as respostas finais compactas.

Resposta

\text{Matriz fundamental (uma escolha): } X(t)=\begin{pmatrix}2e^{2t} & e^{-t}\\[4pt] e^{2t} & 2e^{-t}\end{pmatrix}.
\text{Matriz fundamental com } \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}:\qquad \boldsymbol{\Phi}(t)=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4e^{2t}-e^{-t} & -2e^{2t}+2e^{-t}\\[6pt] 2e^{2t}-2e^{-t} & -e^{2t}+4e^{-t} \end{pmatrix}.]

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