Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
Encontre, também, a matriz fundamental boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}. \mathrm{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}3 & -2 \\\\ 2 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo com coeficientes constantes e pede duas coisas:
Encontrar uma matriz fundamental para o sistema.
Encontrar a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
Vou explicar qual método vamos usar sem pular etapas. Para sistemas lineares com matriz constante A, uma maneira padrão é procurar autovalores \lambda e autovetores \mathbf{v} de A. Se \lambda é autovalor e \mathbf{v} é autovetor, então
\mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}
é uma solução do sistema. Colocando em colunas soluções linearmente independentes obtemos uma matriz fundamental. Esse método funciona bem quando A tem duas autovetores linearmente independentes (caso de autovalores reais distintos). Agora vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Primeiro encontramos os autovalores de A calculando o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Uma verificação rápida: em t=0 essa matriz vira \tfrac{1}{3}\begin{pmatrix}4-1 & -2+2\\[4pt] 2-2 & -1+4\end{pmatrix}=\tfrac{1}{3}\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}=I, como desejado.]
Passo 10
Recapitulando: uma matriz fundamental simples é X(t) com colunas as soluções exponenciais associadas aos autovetores; a matriz fundamental com condição inicial \boldsymbol{\Phi}(0)=I obtém-se multiplicando por X(0)^{-1}. Agora apresento as respostas finais compactas.