Explique se a função f(x, y) é ou não diferenciável na origem.
f(x, y)= \begin{cases}\frac{4 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{4x^{2}y}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt]0,&(x,y)=(0,0).\end{cases}
A pergunta é: a função f é diferenciável na origem (0,0) ou não?
Informações relevantes que temos:
  • A fórmula de f para (x,y)\neq(0,0).
  • O valor de f na origem: f(0,0)=0.
  • Precisa-se decidir diferenciabilidade em (0,0).]

Passo 2

O que significa ser diferenciável em (0,0)? Vou explicar devagar e com calma.
Para uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, dizer que f é diferenciável em (0,0) significa que existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} (no caso uma forma linear L(h,k)=a h + b k) tal que o erro entre f e essa aproximação linear é muito menor do que o tamanho do vetor (h,k) quando (h,k)\to(0,0). Formalmente:
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-L(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
Os coeficientes a e b dessa L — se f for diferenciável — são justamente as derivadas parciais de f em (0,0):
a=f_x(0,0),\qquad b=f_y(0,0).
Uma forma prática: calcule f_x(0,0) e f_y(0,0); então verifique se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f_x(0,0)\,x - f_y(0,0)\,y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Se esse limite não for 0, então f não é diferenciável na origem.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais em (0,0) (pela definição de limite):
Primeiro f_x(0,0). Pela definição:
f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para y=0 e x=h\neq0,
f(h,0)=\frac{4h^{2}\cdot 0}{h^{2}+0}=0.
Então
f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0.
Agora f_y(0,0):
f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Para x=0 e y=h\neq0,
f(0,h)=\frac{4\cdot 0^{2}\cdot h}{0+h^{2}}=0.
Logo
f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{0-0}{h}=0.
Portanto as derivadas parciais em (0,0) existem e valem
f_x(0,0)=0,\qquad f_y(0,0)=0.

Passo 4

Com as duas derivadas parciais iguais a zero, a candidata natural para a aproximação linear é L(h,k)=0. Assim a condição de diferenciabilidade reduz-se a verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Se esse limite for diferente de 0 (ou não existir), então f não é diferenciável em (0,0).

Passo 5

Testar o limite ao longo de uma reta simples: vamos escolher a reta y=x. Para y=x e x\neq0,
f(x,x)=\frac{4x^{2}\cdot x}{x^{2}+x^{2}}=\frac{4x^{3}}{2x^{2}}=2x.
O comprimento do vetor (x,x) é \sqrt{x^{2}+x^{2}}=|x|\sqrt{2}. Portanto
\frac{f(x,x)}{\sqrt{x^{2}+x^{2}}=\;|x|\sqrt{2}}=\frac{2x}{|x|\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\operatorname{sgn}(x)=\sqrt{2}\,\operatorname{sgn}(x),
onde \operatorname{sgn}(x) é 1 para x>0 e -1 para x<0.
Assim, ao aproximar a origem pela reta y=x temos
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{f(x,x)}{\sqrt{x^{2}+x^{2}}}=\sqrt{2}, \qquad \lim_{x\to 0^{-}}\frac{f(x,x)}{\sqrt{x^{2}+x^{2}}}=-\sqrt{2}.
Esses limites laterais não são 0 (nem iguais entre si), logo o limite bidimensional
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
não existe e em particular não é 0.

Passo 6

Conclusão lógica: como o erro normalizado \dfrac{f(x,y)-L(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} (com L=0) não tende a 0 quando (x,y)\to(0,0) — por exemplo ele tem valor \pm\sqrt{2} seguindo y=x — a função f não é diferenciável na origem.
Observação didática final: este exemplo mostra que a existência das derivadas parciais em um ponto (aqui ambas nulas) não garante diferenciabilidade. É preciso checar a condição do erro ser o(\sqrt{x^{2}+y^{2}}); um modo prático é testar caminhos (retas, parábolas etc.). No nosso caso o caminho y=x já revela a falha.

Resposta

Não — a função não é diferenciável em (0,0).

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