Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
Encontre, também, a matriz fundamental boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}. \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ 4 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}
encontrar uma matriz fundamental (ou seja, uma matriz cujas colunas são duas soluções linearmente independentes do sistema);
encontrar a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.]
Passo 2
Estratégia escolhida (sem muitos nomes técnicos ainda): buscar soluções da forma \mathbf{x}(t)=\mathbf{v}e^{\lambda t}. Substituindo na equação obtemos a condição
(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0},
que só tem solução não-trivial se \lambda satisfaz o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Portanto o próximo passo é calcular esse polinômio.
As colunas são claramente linearmente independentes porque os autovetores são independentes.]
Passo 8
Para obter a matriz fundamental que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I} (a chamada matriz fundamental principal), usamos a decomposição A=S\Lambda S^{-1} com S=[\mathbf{v}_1\\ \mathbf{v}_2] e \Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2). Assim