Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
Encontre, também, a matriz fundamental boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}2 & -5 \\\\ 1 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo de dimensão 2
\mathbf{x}' = A\mathbf{x},\qquad A=\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix},
e pede duas coisas:
  • encontrar uma matriz fundamental qualquer para o sistema (isto é, uma matriz cujas colunas são duas soluções linearmente independentes);
  • encontrar especificamente a matriz fundamental \boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
Informações relevantes fornecidas:
  • a matriz de coeficientes é A=\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix};
  • não há outras condições iniciais além de solicitar a matriz fundamental com \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.]

Passo 2

O que é uma “matriz fundamental”? Vou explicar devagar. Uma matriz \Psi(t) é chamada de matriz fundamental do sistema \mathbf{x}'=A\mathbf{x} se:
  • cada coluna de \Psi(t) é uma solução do sistema;
  • as duas colunas são linearmente independentes para todo t (isto é, \det\Psi(t)\neq0 para todo t).
Uma escolha canônica (muito usada) é a matriz exponencial \mathrm{e}^{At}. Ela satisfaz
\frac{d}{dt}\mathrm{e}^{At} = A\mathrm{e}^{At},\qquad \mathrm{e}^{A0}=\mathbf{I},
portanto \mathrm{e}^{At} é uma matriz fundamental e ainda satisfaz a condição inicial \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}. Qualquer outra matriz fundamental tem a forma \Psi(t)=\mathrm{e}^{At}C, com C invertível (constante).
Vou agora calcular \mathrm{e}^{At} explicitamente para a matriz dada. Esse cálculo também nos dá uma matriz fundamental explícita.

Passo 3

Calcular A^2. Faço a multiplicação elemento a elemento e mostro todos os detalhes:
A=\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}.
Multiplicando A por A:
A^2= \begin{pmatrix} 2\cdot2 + (-5)\cdot1 & 2\cdot(-5) + (-5)\cdot(-2)\\[6pt] 1\cdot2 + (-2)\cdot1 & 1\cdot(-5) + (-2)\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-5 & -10+10\\[4pt] 2-2 & -5+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0\\[4pt] 0 & -1 \end{pmatrix}.
Logo
A^2 = -\mathbf{I}.
Isso é uma informação poderosa: se A^2=-\mathbf{I}, os poderes de A se repetem com período 4:
A^0=\mathbf{I},\quad A^1=A,\quad A^2=-\mathbf{I},\quad A^3=-A,\quad A^4=\mathbf{I},\\ \dots]

Passo 4

Agora uso a série de Taylor da exponencial matricial:
\mathrm{e}^{At}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(At)^n}{n!}.
Separando termos de índices pares e ímpares e usando A^{2k}=(-1)^k\mathbf{I} e A^{2k+1}=(-1)^k A, obtenho
\mathrm{e}^{At} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(At)^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(At)^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}\,\mathbf{I} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k t^{2k+1}}{(2k+1)!}\,A.
As duas séries conhecidas são as séries de \cos t e \sin t:
\cos t=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!},\qquad \sin t=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k t^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Portanto obtemos a fórmula simples e muito útil
\mathrm{e}^{At} = (\cos t)\,\mathbf{I} + (\sin t)\,A.
Essa identidade vale sempre que A^2=-\mathbf{I}, e é a razão pela qual aparecerão funções trigonométricas na solução.

Passo 5

Substituo A na fórmula \mathrm{e}^{At}=\cos t\,\mathbf{I}+\sin t\,A para obter a matriz explícita. Com c=\cos t e s=\sin t,
\mathrm{e}^{At} = c\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c + 2s & -5s\\[6pt] s & c - 2s \end{pmatrix}.
Ou escrito integralmente,
\mathrm{e}^{At}= \begin{pmatrix} \cos t + 2\sin t & -5\sin t\\[6pt] \sin t & \cos t - 2\sin t \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificações rápidas (para ganhar confiança):
  • Em t=0: \cos0=1, \sin0=0, então \mathrm{e}^{A\cdot 0}=\mathbf{I}. Ou seja, a matriz encontrada satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
  • Derivando \mathrm{e}^{At}=c\mathbf{I}+sA:
\frac{d}{dt}\mathrm{e}^{At} = -s\mathbf{I} + cA.
Usando A^2=-\mathbf{I} nota-se que A(c\mathbf{I}+sA)=cA + sA^2 = cA - s\mathbf{I}, que coincide com a derivada. Assim \frac{d}{dt}\mathrm{e}^{At}=A\mathrm{e}^{At}, confirmando que cada coluna é solução.
  • Determinante: calculo o determinante da matriz explícita:
\det(\mathrm{e}^{At})=(c+2s)(c-2s)-(-5s)(s)=c^2-4s^2+5s^2=c^2+s^2=1,
portanto é invertível para todo t e as colunas são linearmente independentes. Isso confirma que \mathrm{e}^{At} é de fato uma matriz fundamental.

Passo 7

Conclusão prática para a prova:
  • Uma matriz fundamental geral pode ser escrita como \Psi(t)=\mathrm{e}^{At}C, onde C é qualquer matriz constante invertível (escolha de condições iniciais).
  • A matriz fundamental que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I} é exatamente \boldsymbol{\Phi}(t)=\mathrm{e}^{At}, dada explicitamente acima.

Resposta

\Psi(t)=\mathrm{e}^{At}C, onde C é qualquer matriz constante invertível.\newline
\displaystyle \boldsymbol{\Phi}(t)=\mathrm{e}^{At}=\begin{pmatrix}\cos t + 2\sin t & -5\sin t\\[6pt]\sin t & \cos t - 2\sin t\end{pmatrix}]

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