Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
Encontre, também, a matriz fundamental boldsymbol{\Phi}(t) que satisfaz boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}. \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}2 & -5 \\\\ 1 & -2\end{array}\right) \mathbf{x}
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo de dimensão 2
portanto \mathrm{e}^{At} é uma matriz fundamental e ainda satisfaz a condição inicial \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}. Qualquer outra matriz fundamental tem a forma \Psi(t)=\mathrm{e}^{At}C, com C invertível (constante).
Vou agora calcular \mathrm{e}^{At} explicitamente para a matriz dada. Esse cálculo também nos dá uma matriz fundamental explícita.
Passo 3
Calcular A^2. Faço a multiplicação elemento a elemento e mostro todos os detalhes:
Essa identidade vale sempre que A^2=-\mathbf{I}, e é a razão pela qual aparecerão funções trigonométricas na solução.
Passo 5
Substituo A na fórmula \mathrm{e}^{At}=\cos t\,\mathbf{I}+\sin t\,A para obter a matriz explícita. Com c=\cos t e s=\sin t,
\mathrm{e}^{At} = c\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c + 2s & -5s\\[6pt] s & c - 2s \end{pmatrix}.
Ou escrito integralmente,
\mathrm{e}^{At}= \begin{pmatrix} \cos t + 2\sin t & -5\sin t\\[6pt] \sin t & \cos t - 2\sin t \end{pmatrix}.]
Passo 6
Verificações rápidas (para ganhar confiança):
Em t=0: \cos0=1, \sin0=0, então \mathrm{e}^{A\cdot 0}=\mathbf{I}. Ou seja, a matriz encontrada satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I}.
Derivando \mathrm{e}^{At}=c\mathbf{I}+sA:
\frac{d}{dt}\mathrm{e}^{At} = -s\mathbf{I} + cA.
Usando A^2=-\mathbf{I} nota-se que A(c\mathbf{I}+sA)=cA + sA^2 = cA - s\mathbf{I}, que coincide com a derivada. Assim \frac{d}{dt}\mathrm{e}^{At}=A\mathrm{e}^{At}, confirmando que cada coluna é solução.
Determinante: calculo o determinante da matriz explícita:
portanto é invertível para todo t e as colunas são linearmente independentes. Isso confirma que \mathrm{e}^{At} é de fato uma matriz fundamental.
Passo 7
Conclusão prática para a prova:
Uma matriz fundamental geral pode ser escrita como \Psi(t)=\mathrm{e}^{At}C, onde C é qualquer matriz constante invertível (escolha de condições iniciais).
A matriz fundamental que satisfaz \boldsymbol{\Phi}(0)=\mathbf{I} é exatamente \boldsymbol{\Phi}(t)=\mathrm{e}^{At}, dada explicitamente acima.
Resposta
\Psi(t)=\mathrm{e}^{At}C, onde C é qualquer matriz constante invertível.\newline
\displaystyle \boldsymbol{\Phi}(t)=\mathrm{e}^{At}=\begin{pmatrix}\cos t + 2\sin t & -5\sin t\\[6pt]\sin t & \cos t - 2\sin t\end{pmatrix}]