Considere a matriz A que depende um parêmetro real k :
\left(\begin{array}{ccc} k & 1 & 0 \\\\ 1 & k & 1 \\\\ 0 & 1 & k \end{array}\right)
Responda:
a) Para quais valores de k a matriz A é inversível?
b) Supondo que k seja um valor para o qual a matriz é inversível, encontre uma fórmula para a matriz inversa A^{-1} \mathrm{em} função de k

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} k & 1 & 0\\\\ 1 & k & 1\\\\ 0 & 1 & k \end{pmatrix}
que depende do parâmetro real k. Precisamos (a) achar para quais k ela é invertível, isto é, \det(A)\neq0, e (b) supondo esses k, obter a fórmula de A^{-1} em função de k.

Passo 2

Calculemos o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det(A) = k\det\begin{pmatrix}k & 1\\[6pt]1 & k\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]0 & k\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Aqui
\det\begin{pmatrix}k & 1\\\ 1 & k\end{pmatrix}=k^2-1, \qquad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & k\end{pmatrix}=1\cdot k-1\cdot0=k.
Logo
\det(A)=k(k^2-1)-1\cdot k = k^3 - k - k = k^3 - 2k = k\bigl(k^2-2\bigr).]

Passo 3

A condição de invertibilidade é \det(A)\neq0, isto é,
k\,(k^2-2)\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad k\neq0,\quad k^2\neq2 \quad\Longleftrightarrow\quad k\neq0,\;\;k\neq\pm\sqrt2.

Passo 4

Para obter A^{-1} usamos a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A),
onde \mathrm{adj}(A) é a matriz dos cofatores transposta. Vamos calcular os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, sendo M_{ij} o menor de ordem 2.
Os cofatores são:
C_{11}=k^2-1,\quad C_{12}=-\,\det\!\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&k\end{pmatrix}=-k,\quad C_{13}=+\det\!\begin{pmatrix}1&k\\\ 0&1\end{pmatrix}=1,
C_{21}=-\,\det\!\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&k\end{pmatrix}=-k,\quad C_{22}=+\det\!\begin{pmatrix}k&0\\\ 0&k\end{pmatrix}=k^2,\quad C_{23}=-\,\det\!\begin{pmatrix}k&1\\\ 0&1\end{pmatrix}=-k,
C_{31}=+\det\!\begin{pmatrix}1&0\k&1\end{pmatrix}=1,\quad C_{32}=-\,\det\!\begin{pmatrix}k&0\\\ 1&1\end{pmatrix}=-k,\quad C_{33}=+\det\!\begin{pmatrix}k&1\\\ 1&k\end{pmatrix}=k^2-1.

Passo 5

A matriz adjunta é a transposta da matriz C=(C_{ij}):
\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31}\\[3pt] C_{12} & C_{22} & C_{32}\\[3pt] C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k^2-1 & -k & 1\\[3pt] -\,k & k^2 & -\,k\\[3pt] 1 & -\,k & k^2-1 \end{pmatrix}.
Portanto, para k\neq0,\pm\sqrt2,
A^{-1} = \frac{1}{k(k^2-2)}\, \begin{pmatrix} k^2-1 & -k & 1\\\\ -\,k & k^2 & -\,k\\\\ 1 & -\,k & k^2-1 \end{pmatrix}.]

Resposta

a) A é inversível \iff k\neq0,\;k\neq\pm\sqrt2.
b) Para esses k,
A^{-1} = \frac{1}{k(k^2-2)}\, \begin{pmatrix} k^2-1 & -k & 1\\\\ -\,k & k^2 & -\,k\\\\ 1 & -\,k & k^2-1 \end{pmatrix}.

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