Sejam A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 2 & 0 \\\\ 2 & -1 & -1 & 3 \\\\ 1 & -3 & -2 & 4\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right].
(a) Mostre que A é linha equivalente a B.
(b) B é linha reduzida à forma escada? Justifique.
(c) Determine o posto e a nulidade de A.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0\\\\ 2 & -1 & -1 & 3\\\\ 1 & -3 & -2 & 4 \end{pmatrix}
e
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo é redução por operações elementares de linha (row‐reduction), forma escalonada reduzida, posto (rank) e nulidade (nullity). Vamos em seguida usar operações de linha em A para chegar em B, verificar se B está na forma escalonada reduzida, e extrair daí posto e nulidade.

Passo 2

Eliminamos abaixo do pivô da primeira coluna. Aplicamos
R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Isso transforma A em
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & -3 & -5 & 3\\\\ 0 & -4 & -4 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Escalonamos a segunda linha para ter pivô 1 na posição (2,2). Fazemos
R_2 \leftarrow -\tfrac13\,R_2,
ficando
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & \tfrac53 & -1\\\\ 0 & -4 & -4 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 4

Eliminamos acima e abaixo do novo pivô. Aplicamos
R_1 \leftarrow R_1 - R_2,\quad R_3 \leftarrow R_3 + 4\,R_2,
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac13 & 1\\\\ 0 & 1 & \tfrac53 & -1\\\\ 0 & 0 & \tfrac83 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Escalonamos a terceira linha para pivô 1 em (3,3). Fazemos
R_3 \leftarrow \tfrac38\,R_3,
chegando em
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac13 & 1\\\\ 0 & 1 & \tfrac53 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 6

Eliminamos as entradas nas colunas de pivô acima de (3,3). Aplicamos
R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac13\,R_3,\quad R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac53\,R_3,
e obtemos exatamente
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Logo A é linha‐equivalente a B.

Passo 7

Para verificar se B está na forma escalonada reduzida (reduced row‐echelon form), conferimos:
  1. Cada linha não nula tem primeiro 1 (pivô).
  2. Cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna.
  3. As posições dos pivôs caminham estritamente para a direita de uma linha à outra.
    Todas elas valem para B, logo B é linha reduzida à forma escada.

Passo 8

O posto \mathrm{rank}(A) é o número de pivôs em B, ou seja, 3.
A nulidade (dimension of null space) satisfaz o Teorema da Dimensão:
\mathrm{nullity}(A) = \#\text{colunas} - \mathrm{rank}(A) = 4 - 3 = 1.

Resposta

(a) Usando operações de linha chega-se em B, logo são linha‐equivalentes.
(b) Sim, B está em forma escada reduzida, pois cada pivô é 1, está à direita do pivô acima e é o único não nulo em sua coluna.
(c) \mathrm{rank}(A)=3 e \mathrm{nullity}(A)=1.

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