1. Encontre a matriz de mudança de base de B=\{(1,2),(2,1)\} para a base canônica em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base que leva coordenadas de um vetor escritas na base
\displaystyle B=\{(1,2),(2,1)\}
para as coordenadas desse mesmo vetor na base canônica \mathcal{E}=\{(1,0),(0,1)\} em \mathbb{R}^2.
O conteúdo aqui é compreender que essa matriz tem como colunas exatamente as coordenadas, na base canônica, dos vetores de B.

Passo 2

Seja
v_1 = (1,2),\quad v_2 = (2,1)
os vetores que formam a base B.
Um vetor qualquer v\in\mathbb{R}^2 com coordenadas \bigl[x\bigr]_B na base B se escreve na base canônica como
\bigl[v\bigr]_{\mathcal{E}} = P_{B\to\mathcal{E}}\;\bigl[x\bigr]_B,
onde P_{B\to\mathcal{E}} tem como colunas \bigl[v_1\bigr]_{\mathcal{E}} e \bigl[v_2\bigr]_{\mathcal{E}}.

Passo 3

Como \bigl[v_1\bigr]_{\mathcal{E}}=(1,2) e \bigl[v_2\bigr]_{\mathcal{E}}=(2,1), a matriz de mudança de base é
P_{B\to\mathcal{E}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[6pt] 2 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

P_{B\to\mathcal{E}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 1 \end{pmatrix}

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