Seja A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3 \\\\ 3 & -4 & 2 \\\\ 2 & -3 & 1\end{array}\right].
(a) Encontre a matriz linha reduzida à forma escada B que é linha equivalente a matriz A.
(b) Determine o posto e a nulidade de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2\\\\ 1 & 1 & 3\\\\ 3 & -4 & 2\\\\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}
de dimensão 4\times3. Queremos aplicar eliminação de Gauss para obter uma matriz B linha equivalente em forma escalonada (e depois reduzida) e, a partir dos pivôs, determinar o posto e a nulidade de A.

Passo 2

Para criar o primeiro pivô, trocamos R_1 com R_2 pois a_{21}=1\neq0. Isso dá
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\\\ 0 & 2 & 2\\\\ 3 & -4 & 2\\\\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
Em seguida, eliminamos a coluna 1 nas linhas 3 e 4 pelas operações
R_3\leftarrow R_3-3R_1,\quad R_4\leftarrow R_4-2R_1,
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\\\ 0 & 2 & 2\\\\ 0 & -7 & -7\\\\ 0 & -5 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 3

O pivô seguinte é 2 em (2,2). Para zerar abaixo, usamos
R_3\leftarrow R_3+\tfrac{7}{2}R_2,\quad R_4\leftarrow R_4+\tfrac{5}{2}R_2,
e chegamos à forma escalonada
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\\\ 0 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para reduzir completamente, dividimos R_2 por 2, obtendo o pivô 1 em (2,2) e transformando R_2 em (0,1,1). Em seguida, fazemos
R_1\leftarrow R_1-R_2
para zerar o elemento acima do pivô em (1,2). Assim chegamos à forma escalonada reduzida
B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

A matriz B tem exatamente 2 pivôs, logo o posto de A é
\rank(A)=2.
Como A tem 3 colunas, a nulidade de A é
\nullity(A)=3-2=1
pelo Teorema da Dimensão.

Resposta

A matriz linha reduzida à forma escada é
B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
o posto de A é 2 e a nulidade de A é 1.

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