Seja A=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 2 & 3 & 2 & -1\end{array}\right].
(a) Encontre a matriz linha reduzida à forma escada B que é linha equivalente a matriz A.
(b) Determine o posto e a nulidade de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 2 & 1 & -4 & 3\\\\ 2 & 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}
e pede (a) uma matriz B em forma escada reduzida, linha-equivalente a A, e (b) o posto e a nulidade de A. Vamos usar operações elementares de linha para chegar à forma escada reduzida (RREF) e, em seguida, aplicar o teorema \mathrm{rank}+\mathrm{nullity}=n.

Passo 2

Primeiro pivô na coluna 1: como A_{11}=0, trocamos
\text{R}_1\leftrightarrow\text{R}_2.
Em seguida usamos \text{R}_1 para zerar a entrada em posição (3,1):
\text{R}_3\gets\text{R}_3-\text{R}_1. O resultado é
\begin{pmatrix} 2 & 1 & -4 & 3\\\\ 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 0 & 2 & 6 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Segundo pivô em \text{R}_2(2,2)=1. Eliminamos abaixo:
\text{R}_3\gets\text{R}_3-2\,\text{R}_2. Ficamos com a forma escada
\begin{pmatrix} 2 & 1 & -4 & 3\\\\ 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para tornar a forma reduzida, normalizamos e eliminamos acima dos pivôs. Dividimos \text{R}_1 por 2 e depois zeramos o termo em coluna 2 de \text{R}_1:
\text{R}_1\gets\frac12\text{R}_1,\quad \text{R}_1\gets\text{R}_1-\tfrac12\,\text{R}_2.
Obtemos a RREF
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac72 & \tfrac52\\\\ 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Os pivôs estão em duas colunas ( 1 e 2), logo
\mathrm{rank}(A)=2. Como A tem 4 colunas, o teorema da dimensão do núcleo dá
\mathrm{nullity}(A)=4-\mathrm{rank}(A)=4-2=2.

Resposta

(a)
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac72 & \tfrac52\\\\ 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
(b) \mathrm{rank}(A)=2, \mathrm{nullity}(A)=2.

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