Encontre a matriz mudança da base \beta para a base \alpha nos seguintes casos:
\beta=\left\{E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\right\} para \alpha=\left\{E_{11}, E_{12}-E_{11}, E_{21}-E_{22}, E_{22}\right\} em M_{2}(\mathbb{R});

Passo 1

O enunciado dá duas bases de M_{2}(\mathbb{R}) e pede a matriz de mudança da base \beta para a base \alpha. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Base \beta (ordem dada): \beta=\left\{E_{11},\,E_{12},\,E_{21},\,E_{22}\right\}.
  • Base \alpha (ordem dada): \alpha=\left\{E_{11},\,E_{12}-E_{11},\,E_{21}-E_{22},\,E_{22}\right\}.
  • O que se pede: a matriz de mudança da base \beta para a base \alpha. Ou seja, a matriz P tal que, para todo v\in M_2(\mathbb{R}),
[v]_{\alpha}=P\,[v]_{\beta}.

Passo 2

Lembrando o que são as matrizes E_{ij}: cada E_{ij} é a matriz 2\times2 que tem 1 na entrada (i,j) e 0 nas demais. Explicitamente:
E_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Também convém nomear os vetores da base \alpha para facilitar:
\alpha_{1}=E_{11},\quad \alpha_{2}=E_{12}-E_{11},\quad \alpha_{3}=E_{21}-E_{22},\quad \alpha_{4}=E_{22}.]

Passo 3

Regra prática para construir a matriz de mudança P de \beta para \alpha:
  • Cada coluna j de P é o vetor de coordenadas de \beta_j (o j-ésimo vetor da base \beta) escrito na base \alpha.
  • Em símbolos: se \beta_j = \sum_{i=1}^{4} c_{i}^{(j)}\alpha_i, então a coluna j de P é \big(c_{1}^{(j)},c_{2}^{(j)},c_{3}^{(j)},c_{4}^{(j)}\big)^{T}.
    Vou, portanto, expressar cada vetor de \beta como combinação linear dos \alpha_i.

Passo 4

Expressão de E_{11} em função dos \alpha_i.
Como \alpha_{1}=E_{11}, temos imediatamente
E_{11}=1\cdot\alpha_{1}+0\cdot\alpha_{2}+0\cdot\alpha_{3}+0\cdot\alpha_{4}.
Logo a primeira coluna de P (correspondente a E_{11}) é
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Expressão de E_{12} em função dos \alpha_i.
Da definição de \alpha_{2} temos \alpha_{2}=E_{12}-E_{11}. Isolando E_{12},
E_{12}=\alpha_{2}+E_{11}=\alpha_{2}+\alpha_{1}.
Portanto
E_{12}=1\cdot\alpha_{1}+1\cdot\alpha_{2}+0\cdot\alpha_{3}+0\cdot\alpha_{4},
e a segunda coluna de P é
\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Expressão de E_{21} em função dos \alpha_i.
Da definição de \alpha_{3} temos \alpha_{3}=E_{21}-E_{22}. Isolando E_{21},
E_{21}=\alpha_{3}+E_{22}=\alpha_{3}+\alpha_{4}.
Portanto
E_{21}=0\cdot\alpha_{1}+0\cdot\alpha_{2}+1\cdot\alpha_{3}+1\cdot\alpha_{4},
e a terceira coluna de P é
\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Expressão de E_{22} em função dos \alpha_i.
Como \alpha_{4}=E_{22}, temos
E_{22}=0\cdot\alpha_{1}+0\cdot\alpha_{2}+0\cdot\alpha_{3}+1\cdot\alpha_{4},
e a quarta coluna de P é
\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Montando a matriz P com as colunas encontradas (na ordem dos vetores de \beta):
P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Essa é a matriz que transforma coordenadas em \beta para coordenadas em \alpha: [v]_{\alpha}=P\,[v]_{\beta}.]

Passo 9

Cheque rápido (opcional, só para ter certeza): pegue v=E_{11}+2E_{12}+3E_{21}+4E_{22}. Então [v]_{\beta}=(1,2,3,4)^{T}.
Multiplicando por P,
P\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1+1\cdot2+0\cdot3+0\cdot4\\[4pt] 0\cdot1+1\cdot2+0\cdot3+0\cdot4\\[4pt] 0\cdot1+0\cdot2+1\cdot3+0\cdot4\\[4pt] 0\cdot1+0\cdot2+1\cdot3+1\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]7\end{pmatrix}.
Interpretando, v=3\alpha_{1}+2\alpha_{2}+3\alpha_{3}+7\alpha_{4}; verificando rapidamente com definições de \alpha_i dá certo. Então P está coerente.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}]

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