Encontre a matriz mudança da base \beta para a base \alpha nos seguintes casos: \beta=\left\{E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\right\} para \alpha=\left\{E_{11}, E_{12}-E_{11}, E_{21}-E_{22}, E_{22}\right\} em M_{2}(\mathbb{R});
Passo 1
O enunciado dá duas bases de M_{2}(\mathbb{R}) e pede a matriz de mudança da base \beta para a base \alpha. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
Base \beta (ordem dada): \beta=\left\{E_{11},\,E_{12},\,E_{21},\,E_{22}\right\}.
Base \alpha (ordem dada): \alpha=\left\{E_{11},\,E_{12}-E_{11},\,E_{21}-E_{22},\,E_{22}\right\}.
O que se pede: a matriz de mudança da base \beta para a base \alpha. Ou seja, a matriz P tal que, para todo v\in M_2(\mathbb{R}),
[v]_{\alpha}=P\,[v]_{\beta}.
Passo 2
Lembrando o que são as matrizes E_{ij}: cada E_{ij} é a matriz 2\times2 que tem 1 na entrada (i,j) e 0 nas demais. Explicitamente:
Regra prática para construir a matriz de mudança P de \beta para \alpha:
Cada coluna j de P é o vetor de coordenadas de \beta_j (o j-ésimo vetor da base \beta) escrito na base \alpha.
Em símbolos: se \beta_j = \sum_{i=1}^{4} c_{i}^{(j)}\alpha_i, então a coluna j de P é \big(c_{1}^{(j)},c_{2}^{(j)},c_{3}^{(j)},c_{4}^{(j)}\big)^{T}.
Vou, portanto, expressar cada vetor de \beta como combinação linear dos \alpha_i.
Passo 4
Expressão de E_{11} em função dos \alpha_i.
Como \alpha_{1}=E_{11}, temos imediatamente