Sejam \alpha, \beta e \gamma bases de um espaço vetorial V de dimensão n. Mostre que
(a) [I]_{\alpha}^{\alpha}=I_{n};
(b) [I]_{\beta}^{\alpha} \cdot[I]_{\alpha}^{\beta}=I_{n}. Conclua que \left([I]_{\beta}^{\alpha}\right)^{-1}=[I]_{\alpha}^{\beta};
(c) [I]_{\gamma}^{\alpha}=[I]_{\gamma}^{\beta} \cdot[I]_{\beta}^{\alpha};

Passo 1

O enunciado dá que \alpha, \beta e \gamma são bases de um espaço vetorial V de dimensão n. Pede para mostrar três afirmações:
(a) [I]_{\alpha}^{\alpha}=I_{n};
(b) [I]_{\beta}^{\alpha}\cdot [I]_{\alpha}^{\beta}=I_{n} e concluir que \left([I]_{\beta}^{\alpha}\right)^{-1}=[I]_{\alpha}^{\beta};
(c) [I]_{\gamma}^{\alpha}=[I]_{\gamma}^{\beta}\cdot [I]_{\beta}^{\alpha}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \alpha=(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}), \beta=(\beta_{1},\dots,\beta_{n}) e \gamma=(\gamma_{1},\dots,\gamma_{n}) são bases de V.
  • A notação [T]_{\text{destino}}^{\text{origem}} refere-se à matriz da transformação linear T relativa à base de origem (colunas) e à base de destino (coordenadas das imagens). (A definição precisa será usada no passo seguinte.)

Passo 2

Definição precisa e interpretação da notação (é essencial para entender os itens). Seja T:V\to V uma transformação linear e sejam \mathcal{B}=(b_{1},\dots,b_{n}) e \mathcal{C}=(c_{1},\dots,c_{n}) duas bases de V. A matriz [T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} é a matriz n\times n cujas colunas são as coordenadas, na base \mathcal{C}, das imagens dos vetores da base \mathcal{B}. Em fórmulas: para cada j,
T(b_{j})=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, c_{i},
e então a j-ésima coluna de [T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} é o vetor coluna (a_{1j},a_{2j},\dots,a_{nj})^{T}. Em notação compacta,
[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B} }=\big([T(b_{1})]_{\mathcal{C}}\\ \big|\\ \cdots\\ \big|\\ [T(b_{n})]_{\mathcal{C}}\big),
onde [v]_{\mathcal{C}} é o vetor coluna das coordenadas de v na base \mathcal{C}.
Explicação intuitiva: multiplicando [T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} por o vetor coluna [x]_{\mathcal{B}} (coordenadas de x na base \mathcal{B}) obtém-se [T(x)]_{\mathcal{C}} (coordenadas de T(x) na base \mathcal{C}):
[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\,[x]_{\mathcal{B}}=[T(x)]_{\mathcal{C}}.

Passo 3

Prova do item (a). Aplique a definição para T=I (a aplicação identidade I:V\to V) e as mesmas bases de origem e destino \alpha. Para cada j,
I(\alpha_{j})=\alpha_{j}.
As coordenadas de \alpha_{j} na base \alpha são exatamente os vetores canônicos (vetores coluna com 1 na posição j e 0 nas outras posições), ou seja [\,\alpha_{j}\,]_{\alpha}=e_{j}. Portanto, a j-ésima coluna de [I]_{\alpha}^{\alpha} é e_{j}. Como isso vale para todo j=1,\dots,n, as colunas são e_{1},\dots,e_{n} e assim
[I]_{\alpha}^{\alpha}= \big(e_{1}\,|\,\cdots\,|\,e_{n}\big)=I_{n}.
Isto prova (a).

Passo 4

Prova do item (b) — ideia via ação em vetores coordenados. Lembrete útil (já explicado): para qualquer v\in V,
[I]_{\beta}^{\alpha}\,[v]_{\alpha}=[I(v)]_{\beta}=[v]_{\beta}.
Analogamente,
[I]_{\alpha}^{\beta}\,[v]_{\beta}=[v]_{\alpha}.
Agora pegue um vetor arbitrário v\in V e escreva sua coordenada em \beta, [v]_{\beta}. Multiplicando por [I]_{\alpha}^{\beta} e depois por [I]_{\beta}^{\alpha} obtemos:
\big([I]_{\beta}^{\alpha}\cdot [I]_{\alpha}^{\beta}\big)\,[v]_{\beta} =[I]_{\beta}^{\alpha}\big([I]_{\alpha}^{\beta}\,[v]_{\beta}\big) =[I]_{\beta}^{\alpha}\,[v]_{\alpha}=[v]_{\beta}.
Portanto a matriz [I]_{\beta}^{\alpha}\cdot [I]_{\alpha}^{\beta} age como a matriz identidade sobre todo vetor coluna [v]_{\beta}. Como isso vale para todo v e estes vetores coluna geram \mathbb{R}^{n} (ou o corpo em questão), segue que
[I]_{\beta}^{\alpha}\cdot [I]_{\alpha}^{\beta}=I_{n}.
Comentário adicional (intuitivo): [I]_{\alpha}^{\beta} transforma coordenadas de \beta em coordenadas de \alpha e [I]_{\beta}^{\alpha} faz o caminho inverso; compô-las volta ao ponto de partida, logo obtém-se a identidade.
Como a multiplicação por [I]_{\beta}^{\alpha} tem uma matriz que, multiplicada por [I]_{\alpha}^{\beta}, dá I_{n}, isso mostra que [I]_{\alpha}^{\beta} é inversa à direita de [I]_{\beta}^{\alpha}. Pelo mesmo raciocínio trocando papéis (ou observando que o inverso é único), tem-se também a inversa à esquerda, então ambas são inversas mútuas. Conclui-se:
\big([I]_{\beta}^{\alpha}\big)^{-1}=[I]_{\alpha}^{\beta}.

Passo 5

Prova do item (c) — transitividade das matrizes de mudança de base; uso da propriedade de composição de transformações. Primeiro uma propriedade geral (rápida demonstração): se S,T:V\to V são transformações lineares e \mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C} são bases, então
[S\circ T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{A}}=[S]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\cdot [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}.
Justificativa curta: pelas definições, a j-ésima coluna de [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} é [T(a_{j})]_{\mathcal{B}}. Aplicando S a T(a_{j}) e tomando coordenadas em \mathcal{C} dá precisamente a j-ésima coluna do produto [S]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}\cdot [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}.
Agora aplique essa propriedade ao caso em que S=I e T=I (identidade) mas com bases apropriadas: a composição de transformar coordenadas de \alpha para \beta e depois de \beta para \gamma é o mesmo que transformar diretamente de \alpha para \gamma. Em notação de matrizes:
[I]_{\gamma}^{\alpha}=[I\circ I]_{\gamma}^{\alpha}=[I]_{\gamma}^{\beta}\cdot [I]_{\beta}^{\alpha}.
Isso é exatamente a fórmula pedida em (c). Intuitivamente: mudar de \alpha para \beta e depois de \beta para \gamma é o mesmo que mudar de \alpha direto para \gamma.

Resposta

(a) [I]_{\alpha}^{\alpha}=I_{n}
(b) [I]_{\beta}^{\alpha}\cdot [I]_{\alpha}^{\beta}=I_{n}. Logo \big([I]_{\beta}^{\alpha}\big)^{-1}=[I]_{\alpha}^{\beta}
(c) [I]_{\gamma}^{\alpha}=[I]_{\gamma}^{\beta}\cdot [I]_{\beta}^{\alpha}

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