Encontre a matriz mudança da base \beta para a base \alpha nos seguintes casos:
\beta=\{(1,1,3),(0,1,0),(7,5,-1)\} para \alpha=\{(7,5,-1),(1,1,3),(0,1,0)\} em V=\mathbb{R}^{3};

Passo 1

O enunciado fornece duas bases de V=\mathbb{R}^{3} e pede a matriz de mudança da base \beta para a base \alpha. Dados:
  • \beta=\{(1,1,3),(0,1,0),(7,5,-1)\}.
  • \alpha=\{(7,5,-1),(1,1,3),(0,1,0)\}.
O que se pede: encontrar a matriz P tal que, para qualquer vetor v\in\mathbb{R}^3,
[v]_{\alpha}=P\,[v]_{\beta},
ou seja, a matriz que transforma coordenadas em relação à base \beta nas coordenadas em relação à base \alpha.

Passo 2

Entendendo o que é a matriz de mudança: se \beta=\{b_1,b_2,b_3\} e \alpha=\{a_1,a_2,a_3\}, a matriz de mudança de \beta para \alpha é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores b_j escritas na base \alpha. Em notação:
P_{\alpha\leftarrow\beta}=\big([b_1]_{\alpha}\;[b_2]_{\alpha}\;[b_3]_{\alpha}\big),
onde [b_j]_{\alpha} é o vetor coluna com as coordenadas de b_j na base \alpha.
Explicando passo a passo: dado v=c_1 b_1+c_2 b_2+c_3 b_3, seu vetor de coordenadas em \beta é
[v]_{\beta}=\begin{pmatrix}c_1\c_2\c_3\end{pmatrix}.
Mas o mesmo v pode ser escrito em \alpha como combinação linear dos a_i; juntar as colunas [b_j]_{\alpha} forma a matriz P que converte [v]_{\beta} em [v]_{\alpha}.

Passo 3

Identificar relação direta entre as bases dadas. Vamos marcar os vetores:
b_1=(1,1,3),\quad b_2=(0,1,0),\quad b_3=(7,5,-1),
a_1=(7,5,-1),\quad a_2=(1,1,3),\quad a_3=(0,1,0).
Observação imediata: cada vetor da \beta aparece em \alpha, apenas em ordem diferente. Mais precisamente:
b_1 = a_2,\qquad b_2 = a_3,\qquad b_3 = a_1.

Passo 4

Encontrar as coordenadas de cada b_j na base \alpha.
  • Como b_1=a_2, temos
[b_1]_{\alpha}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},
pois b_1=0\cdot a_1+1\cdot a_2+0\cdot a_3.
  • Como b_2=a_3, temos
[b_2]_{\alpha}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
pois b_2=0\cdot a_1+0\cdot a_2+1\cdot a_3.
  • Como b_3=a_1, temos
[b_3]_{\alpha}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
pois b_3=1\cdot a_1+0\cdot a_2+0\cdot a_3.

Passo 5

Construir a matriz de mudança colocando essas coordenadas como colunas, na ordem b_1,b_2,b_3:
P_{\alpha\leftarrow\beta}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Cheque rápido (sanidade): tome v=b_1. Então [v]_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Multiplicando:
P_{\alpha\leftarrow\beta}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}=[b_1]_{\alpha},
ou seja, o resultado são as coordenadas de b_1 na base \alpha, conforme esperado. Isso confirma que a matriz está correta. Além disso, P_{\alpha\leftarrow\beta} é uma matriz permutação (invertível), o que faz sentido porque \alpha é apenas uma permutação dos vetores de \beta.

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

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