Encontre a matriz mudança da base \beta para a base \alpha nos seguintes casos: \beta=\{(1,1,3),(0,1,0),(7,5,-1)\} para \alpha=\{(7,5,-1),(1,1,3),(0,1,0)\} em V=\mathbb{R}^{3};
Passo 1
O enunciado fornece duas bases de V=\mathbb{R}^{3} e pede a matriz de mudança da base \beta para a base \alpha. Dados:
\beta=\{(1,1,3),(0,1,0),(7,5,-1)\}.
\alpha=\{(7,5,-1),(1,1,3),(0,1,0)\}.
O que se pede: encontrar a matriz P tal que, para qualquer vetor v\in\mathbb{R}^3,
[v]_{\alpha}=P\,[v]_{\beta},
ou seja, a matriz que transforma coordenadas em relação à base \beta nas coordenadas em relação à base \alpha.
Passo 2
Entendendo o que é a matriz de mudança: se \beta=\{b_1,b_2,b_3\} e \alpha=\{a_1,a_2,a_3\}, a matriz de mudança de \beta para \alpha é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores b_j escritas na base \alpha. Em notação:
Mas o mesmo v pode ser escrito em \alpha como combinação linear dos a_i; juntar as colunas [b_j]_{\alpha} forma a matriz P que converte [v]_{\beta} em [v]_{\alpha}.
Passo 3
Identificar relação direta entre as bases dadas. Vamos marcar os vetores:
b_1=(1,1,3),\quad b_2=(0,1,0),\quad b_3=(7,5,-1),
a_1=(7,5,-1),\quad a_2=(1,1,3),\quad a_3=(0,1,0).
Observação imediata: cada vetor da \beta aparece em \alpha, apenas em ordem diferente. Mais precisamente:
b_1 = a_2,\qquad b_2 = a_3,\qquad b_3 = a_1.
Passo 4
Encontrar as coordenadas de cada b_j na base \alpha.
ou seja, o resultado são as coordenadas de b_1 na base \alpha, conforme esperado. Isso confirma que a matriz está correta. Além disso, P_{\alpha\leftarrow\beta} é uma matriz permutação (invertível), o que faz sentido porque \alpha é apenas uma permutação dos vetores de \beta.