Encontre a matriz mudança de base que representa a mudança de coordenadas em P^3 da base ordenada [1, x, x^2 ] para a base ordenada
[1,1+x, 1+x+x^2]

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de coordenadas em P^3 (polinômios de grau até 2) da base ordenada antiga
B = [,1,;x,;x^2,]
para a nova base ordenada
C = [,1,;1+x,;1+x+x^2,]
O que precisamos é a matriz P tal que, para todo polinômio p, valha
[p]C ;=; P,[p]B
Para encontrar P, vamos expressar cada vetor de B como combinação linear dos vetores de C.

Passo 2

Seja C1=1, C2=1+x e C3=1+x+x^2. Para cada vetor bjin B (isto é, 1,x,x^2), procuramos escalares a1j,a2j,a3j tais que
a1j,C1 ;+; a2j,C2 ;+; a3j,C3 ;=; bj
Isso gera um sistema para igualar coeficientes em 1, x e x^2.

Passo 3

Para b1=1 temos
a11+a21+a31=1, a21+a31=0, a31=0
logo (a11,a21,a31)=(1,0,0).
Para b2=x temos
a12+a22+a32=0, a22+a32=1, a32=0
logo (a12,a22,a32)=(-1,1,0).
Para b3=x^2 temos
a13+a23+a33=0, a23+a33=0, a33=1
logo (a13,a23,a33)=(0,-1,1).

Passo 4

A matriz P que leva [p]B em [p]C tem como colunas os vetores (a1j,a2j,a3j). Assim,
P = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1

Resposta

P ;=; 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1

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