2 Expresse os polinômios p(x)=2+5 x e q(x)=3+3 x+5 x^2 como combinação linear dos polinômios p1(x)=3+x+4 x^2, p2(x)=-x+2 x^2 e p3(x)=3+3 x+5 x^2.

Passo 1

O enunciado pede para escrever os polinômios
p(x)=2+5x e q(x)=3+3x+5x^2
como combinação linear dos vetores (polinômios)
p1(x)=3+x+4x^2, p2(x)=-x+2x^2, p3(x)=3+3x+5x^2
O espaço é P2 (polinômios de grau <=2) e vamos usar o método de “equacionar coeficientes” para determinar escalares a,b,c tais que
p(x)=a,p1(x)+b,p2(x)+c,p3(x),
e depois fazer o mesmo para q(x).

Passo 2

Começando com p(x), escrevemos
a,(3+x+4x^2)+b,(-x+2x^2)+c,(3+3x+5x^2) ;=; 2+5x+0cdot x^2
Agrupando termos de mesma potência de x, obtemos o sistema
constante:&3a+0cdot b+3c=2, x:&a - b +3c=5, x^2:&4a+2b+5c=0

Passo 3

Resolvendo
1. Da primeira equação 3a+3c=2 vem a=tfrac2-3c3.
2. Substituindo em a - b +3c=5 achamos b=-tfrac2915 quando c=tfrac65.
3. De 4a+2b+5c=0 resulta c=tfrac65.
Logo
a=-tfrac815, b=-tfrac2915, c=tfrac65

Passo 4

Para q(x)=3+3x+5x^2 observamos que já é exatamente p3(x). Portanto basta
q(x)=0cdot p1(x)+0cdot p2(x)+1cdot p3(x)

Resposta

p(x)=-tfrac815,p1(x);-;tfrac2915,p2(x);+;tfrac65,p3(x),
q(x)=0cdot p1(x);+;0cdot p2(x);+;1cdot p3(x)

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