Mostre que se r in R, e A, B in Mn, m então, r(A+B)=r A+r B.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a multiplicação de uma matriz pela esquerda por um escalar distribui sobre a soma de matrizes. Em outras palavras, para todo escalar rinR e para todas as matrizes A,BinMn,m devemos provar
r,(A+B)=rA+rB
Vamos usar as definições de soma de matrizes e multiplicação escalar, trabalhando entrada a entrada.

Passo 2

Pela definição de soma de matrizes, a entrada (i,j) de A+B é
(A+B)ij=Aij+Bij
Pela definição de multiplicação escalar, a entrada (i,j) de rX (para qualquer matriz X) é
(rX)ij=r,Xij

Passo 3

Agora calculamos a entrada (i,j) de r,(A+B):
l(r,(A+B)r)ij =r,(A+B)ij =r,(Aij+Bij)
e, usando a distributividade de r sobre a soma de números reais,
r,(Aij+Bij) =r,Aij+r,Bij

Passo 4

Comparemos isso com a entrada (i,j) de rA + rB. Temos
(rA)ij+ (rB)ij =r,Aij+r,Bij
Portanto
l(r,(A+B)r)ij =(rA+rB)ij
para todo par de índices (i,j).

Passo 5

Concluímos que todas as entradas de r,(A+B) e de rA+rB coincidem. Logo, como duas matrizes são iguais se todas as suas entradas são iguais, segue-se
r,(A+B)=rA+rB

Resposta

r,(A+B)=rA+rB

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