Mostre que se
, e
então,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a multiplicação de uma matriz pela esquerda por um escalar distribui sobre a soma de matrizes. Em outras palavras, para todo escalar
e para todas as matrizes
devemos provar
Vamos usar as definições de soma de matrizes e multiplicação escalar, trabalhando entrada a entrada.
Passo 2
Pela definição de soma de matrizes, a entrada
de
é
Pela definição de multiplicação escalar, a entrada
de
(para qualquer matriz
) é
Passo 3
Agora calculamos a entrada
de
:
e, usando a distributividade de
sobre a soma de números reais,
Passo 4
Comparemos isso com a entrada
de
. Temos
Portanto
para todo par de índices
.
Passo 5
Concluímos que todas as entradas de
e de
coincidem. Logo, como duas matrizes são iguais se todas as suas entradas são iguais, segue-se