Encontre a matriz B tal que A B=C, onde C=\left[\begin{array}{cccc}2 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre a matriz B tal que A B = C".
A informação dada é apenas a matriz C:
C=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}.
Não foi fornecida a matriz A. Aqui estão as perguntas implícitas que o enunciado faz:
  • Existe alguma (ou quais) matriz B tal que A B = C?
  • Se existe, como encontrá-la explicitamente?
Passo importante: eu ainda não usei nem resolvi nada; apenas listei o que o enunciado dá e o que pede.]

Passo 2

Vamos reescrever o problema coluna a coluna — isso é uma técnica padrão e muito útil. Denotemos as colunas de B por b_1,b_2,b_3,b_4 (cada b_j é um vetor coluna) e as colunas de C por c_1,c_2,c_3,c_4. Pegando os dados da matriz C acima, as colunas são:
c_1=\begin{bmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix},\quad c_2=\begin{bmatrix}0\\[4pt]3\\[4pt]0\end{bmatrix},\quad c_3=\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix},\quad c_4=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]-2\end{bmatrix}.
A igualdade matricial A B = C é equivalente ao conjunto de sistemas lineares, um para cada coluna:
A b_j = c_j,\qquad j=1,2,3,4.
Ou seja, para encontrar B eu preciso (em princípio) resolver quatro sistemas lineares com a mesma matriz A no lado esquerdo e com os vetores c_j (acima) no lado direito.]

Passo 3

Agora explico didaticamente como se resolve cada sistema A b_j = c_j na prova (passo a passo, como você pediu), e quais condições de existência/uniqueness aparecem — sem assumir que você já sabe.
  1. O que significa resolver A b_j = c_j?
    • Se A é uma matriz m\times n e b_j é um vetor em \mathbb{R}^n, então A b_j é uma combinação linear das colunas de A. Resolver A b_j = c_j é achar coeficientes (entradas de b_j) tais que essa combinação linear dê exatamente c_j.
  2. Quando existe solução?
    • Existe solução para A b_j = c_j se, e somente se, o vetor c_j pertence ao espaço coluna (imagem) de A, que é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de A. Em termos práticos da prova: monte a matriz aumentada [A\mid c_j] e faça eliminação de Gauss; existe solução se a classificação (posto) da matriz aumentada é igual ao posto de A.
  3. Quando a solução é única?
    • A solução é única se o núcleo (nullspace) de A contiver apenas o vetor zero, isto é, se A tiver posto igual a n (full column rank). Em particular, se A for quadrada invertível (isto é, n=m e \det(A)\neq0), então cada sistema tem exatamente uma solução.
  4. Como encontrar uma solução na prática (se existir)?
    • Use eliminação de Gauss para resolver A b_j = c_j e obter um vetor particular b_j^p.
    • Se houver variáveis livres (isto é, infinitas soluções), escreva a solução geral como b_j = b_j^p + v,onde v é qualquer vetor do núcleo de A (qualquer solução de A v = 0). Para achar o núcleo, resolva A v = 0 por eliminação também.
  5. Observação prática para provas:
    • Em vez de resolver quatro sistemas separados do zero, muitas vezes é conveniente montar a única matriz aumentada [A\mid C] (com C como bloco de quatro colunas à direita) e aplicar eliminação de Gauss de uma vez; isso dá as quatro colunas b_j simultaneamente, e mostra se algum c_j é inconsistente.

Passo 4

Dou algumas formas úteis e imediatas (fáceis de aplicar em prova) dependendo da forma de A:
  1. Caso simples e muito comum: A é quadrada invertível (tem inversa A^{-1}).
    • Então há solução única para cada coluna e basta multiplicar à esquerda por A^{-1}: B = A^{-1} C.
    • Explicação: multiplica-se a igualdade A B = C por A^{-1} à esquerda; como A^{-1}A=I, obtém-se B = A^{-1}C. Na prova, se o enunciado fornece A e você consegue calcular A^{-1}, esse é o caminho mais rápido.
  2. Caso geral: A é m\times n (possivelmente não quadrada).
    • Existência: cada coluna c_j deve estar no espaço coluna de A.
    • Se a existência ocorrer, solução geral para a matriz B pode ser escrita assim: ache uma matriz particular B_p tal que A B_p = C (por eliminação). Então todas as soluções são B = B_p + Z\,M,onde as colunas de Z formam uma base do núcleo de A (ou seja, A Z = 0) e M é uma matriz arbitrária com número de linhas igual à dimensão do núcleo de A e número de colunas igual a 4. Em palavras: você pode somar a qualquer solução particular uma combinação arbitrária de vetores do núcleo de A coluna a coluna. Na prova isso aparece como “variáveis livres” ao resolver o sistema aumentado.
  3. Se algum dos sistemas A b_j = c_j for inconsistente (ponto de linha que vira 0 = não zero na eliminação), então não existe nenhuma matriz B satisfazendo A B = C.

Passo 5

Aplicando tudo ao enunciado concreto: nós só temos C. Sem a matriz A não posso executar eliminação para obter números para as colunas b_j. Portanto não há como calcular explicitamente uma matriz B numérica. O que posso afirmar com segurança é somente o que escrevi nas etapas anteriores: as colunas de C são
\begin{aligned} c_1&=(2,0,0)^T,\quad c_2=(0,3,0)^T,\\\ c_3&=(1,0,0)^T,\quad c_4=(0,0,-2)^T, \end{aligned}
e para cada j deve valer A b_j=c_j. Logo a existência e forma de B depende inteiramente das propriedades da matriz A (posto, se é invertível, seu núcleo, etc.).

Resposta

Não é possível determinar numericamente a matriz B porque a matriz A não foi fornecida. Em termos gerais: para cada coluna c_j de C deve ser resolvido A b_j=c_j; existe solução iff cada c_j pertence ao espaço coluna de A. Se A for invertível então a solução única é B=A^{-1}C; caso contrário, se existirem soluções, a forma geral é B=B_p+Z M, onde B_p é uma solução particular, as colunas de Z formam uma base do núcleo de A e M é uma matriz arbitrária.

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