Sabendo-se que um o bem " X " tem sua demanda diminuída de 85 para 35 unid/mês, quando o seu valor é aumentado de \mathrm{R} \ 27.500,00 para R\ 30.000,00, calcule a elasticidade com base no ponto médio e demonstre em gráfico a situação da receita total.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a elasticidade-preço da demanda usando a fórmula do ponto médio e mostrar, em gráfico, a situação da receita total depois do aumento de preço.
Dados fornecidos (copiados do enunciado):
Q_1=85 unidades/mês (demanda inicial)
Q_2=35 unidades/mês (demanda após o aumento)
P_1=\mathrm{R}\$\,27.500,00 (preço inicial)
P_2=\mathrm{R}\$\,30.000,00 (preço final)

Passo 2

O que é a elasticidade-preço com base no ponto médio e por que usamos ela? Vou explicar devagarinho.
A elasticidade-preço da demanda mede a sensibilidade da quantidade demandada a variações no preço: se |E|>1 a demanda é elástica (quantidade muda mais, receita cai quando o preço sobe); se |E|<1 é inelástica (receita sobe quando o preço sobe). A fórmula do ponto médio é usada para evitar que o resultado dependa da escolha da base (se você calcular variação percentual tomando P_1 ou P_2 como base dá números diferentes); o ponto médio usa a média entre os dois valores como base, ficando simétrico.
A fórmula do ponto médio (em forma explicada) é:
E=\frac{\Delta Q / Q_{m}}{\Delta P / P_{m}}
onde \Delta Q=Q_2-Q_1, \Delta P=P_2-P_1, Q_{m}=\dfrac{Q_1+Q_2}{2} é a quantidade média, e P_{m}=\dfrac{P_1+P_2}{2} é o preço médio. Vou agora aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular as variações e médias (vou mostrar cada conta):
\Delta Q = Q_2-Q_1 = 35-85 = -50.
Interpretação: a quantidade caiu 50 unidades.
Q_{m}=\frac{Q_1+Q_2}{2}=\frac{85+35}{2}=\frac{120}{2}=60.
Ou seja, a média das quantidades é 60 unidades.
\Delta P = P_2-P_1=\mathrm{R}\$\,30.000,00-\mathrm{R}\$\,27.500,00=\mathrm{R}\$\,2.500,00.
P_{m}=\frac{P_1+P_2}{2}=\frac{\mathrm{R}\$\,27.500,00+\mathrm{R}\$\,30.000,00}{2}=\mathrm{R}\$\,28.750,00.

Passo 4

Calcular as variações percentuais relativas ao ponto médio (mostrar em fração e decimal):
\frac{\Delta Q}{Q_m}=\frac{-50}{60}=-\frac{5}{6}\approx -0{,}833333\ldots
Isto é, a quantidade caiu aproximadamente -83{,}333\% em relação à média.
\frac{\Delta P}{P_m}=\frac{\mathrm{R}\$\,2.500,00}{\mathrm{R}\$\,28.750,00}=\frac{2500}{28750}=\frac{2}{23}\approx 0{,}0869565\ldots
Isto é, o preço aumentou aproximadamente 8{,}695652\% em relação à média.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da elasticidade com os números obtidos:
E=\frac{\Delta Q / Q_m}{\Delta P / P_m} =\frac{-\tfrac{5}{6}}{\tfrac{2}{23}} =-\frac{5}{6}\cdot\frac{23}{2} =-\frac{115}{12}.
Como número decimal:
E=-\frac{115}{12}\approx -9{,}583333\ldots
Interpretação didática: o sinal negativo aparece porque a demanda caiu quando o preço subiu (lei da demanda). O valor absoluto |E|\approx 9{,}5833 é muito maior que 1, então a demanda é altamente elástica aqui — uma pequena variação percentual no preço provocou uma variação percentual muito maior na quantidade demandada.

Passo 6

Vamos ver o que isso significa para a receita total (receita total TR é TR=P\cdot Q). Calculamos TR antes e depois:
TR_1=P_1\cdot Q_1=\mathrm{R}\$\,27.500,00\cdot 85=\mathrm{R}\$\,2.337.500,00.
TR_2=P_2\cdot Q_2=\mathrm{R}\$\,30.000,00\cdot 35=\mathrm{R}\$\,1.050.000,00.
A receita total caiu de \mathrm{R}\$\,2.337.500,00 para \mathrm{R}\$\,1.050.000,00. A variação absoluta é
\Delta TR = TR_2-TR_1=\mathrm{R}\$\,1.050.000,00-\mathrm{R}\$\,2.337.500,00=-\mathrm{R}\$\,1.287.500,00,
ou seja, uma redução de aproximadamente
\frac{1{,}287{,}500}{2{,}337{,}500}\approx 0{,}551724\ldots\approx 55{,}17\%
da receita total. Isso está de acordo com a elasticidade: como |E|>1, um aumento de preço reduz a receita total.

Passo 7

Demonstração gráfica (gráfico simples com os dois pontos e interpretação). Como só temos dois pontos observados, a representação mais direta é colocar P no eixo horizontal e TR no eixo vertical, marcar os pontos (P_1,TR_1) e (P_2,TR_2) e ligar para visualizar a queda. Vou desenhar um esboço ASCII (os valores numéricos são os calculados acima):
Eixos: horizontal = preço P (em R$), vertical = receita total TR (em R$).
\begin{array}{l} \text{TR (R\$)}\\[2pt] \quad 2{,}400{,}000\;|\; \ast\\ \text{(}\,P_1=\mathrm{R}\$\,27.500,00,\\ TR_1=\mathrm{R}\$\,2.337.500,00\,)\\[2pt] \quad 2{,}000{,}000\;|\\[2pt] \quad 1{,}500{,}000\;|\; \phantom{**}\\ \text{(linha de descida)}\\[2pt] \quad 1{,}050{,}000\;|\; \ast\\ \text{(}\,P_2=\mathrm{R}\$\,30.000,00,\\ TR_2=\mathrm{R}\$\,1.050.000,00\,)\\[2pt] \quad 0\;|\________________________________\text{P (R\$)}\\[2pt] \quad\quad\quad \mathrm{R}\$\,27.500\qquad\qquad\mathrm{R}\$\,30.000 \end{array}
Interpretação do gráfico: o ponto em P_1=\mathrm{R}\$\,27.500,00 tem TR_1=\mathrm{R}\$\,2.337.500,00 (ponto mais alto) e o ponto em P_2=\mathrm{R}\$\,30.000,00 tem TR_2=\mathrm{R}\$\,1.050.000,00 (ponto muito mais baixo). A linha que liga os dois mostra visualmente a forte queda na receita total quando o preço foi aumentado — exatamente o que esperamos com uma demanda altamente elástica.]

Resposta

Elasticidade (ponto médio): E=-\dfrac{115}{12}\approx -9{,}5833
Receita total antes: TR_1=\mathrm{R}\$\,2.337.500,00
Receita total depois: TR_2=\mathrm{R}\$\,1.050.000,00

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