Encontre a matriz transposta de:
\left[\begin{array}{lll} 1 & 4 & 7 \end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado dá a matriz linha
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 7\end{array}\right]
e pede para encontrar a matriz transposta de A. Isto é, determinar A^{T}.

Passo 2

Definição de transposta (explicando bem devagar): para qualquer matriz A, a transposta A^{T} é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Em linguagem de índices:
(A^{T})_{ij}=A_{ji}
Isso significa: o elemento que estava na linha i e coluna j em A passa a ocupar a linha j e coluna i em A^{T}.

Passo 3

Determine as dimensões para saber como ficará a forma da transposta. A matriz A tem 1 linha e 3 colunas, ou seja é de dimensão 1\times 3. A transposta troca linhas por colunas, portanto A^{T} terá dimensão 3\times 1 (uma coluna com três entradas).

Passo 4

Identificar os elementos de A com índices para aplicar a regra. Escrever
A=\left[\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13}\end{array}\right]
onde, no caso dado,
a_{11}=1,\qquad a_{12}=4,\qquad a_{13}=7.

Passo 5

Aplicar a fórmula (A^{T})_{ij}=A_{ji} para cada posição da nova matriz 3\times 1:
(A^{T})_{11}=A_{11}=1,
(A^{T})_{21}=A_{12}=4,
(A^{T})_{31}=A_{13}=7.
Portanto A^{T} é a coluna formada por esses valores.

Passo 6

Escrever explicitamente a transposta em forma matricial (a resposta final):
A^{T}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]7\end{pmatrix}.]

Passo 7

Checagem rápida e dica de prova: se você transpor de novo, volta ao original, pois (A^{T})^{T}=A. Aqui, transpondo \begin{pmatrix}1\\\ 4\\\ 7\end{pmatrix} volta-se para \left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 7\end{array}\right]. Dica prática: para uma matriz linha transforme-a em coluna com os mesmos números, e para uma matriz coluna transforme-a em linha — é isso a transposição. Vai dar certo, confia!

Resposta

\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]7\end{pmatrix}]

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