Encontre as matrizes L e U que permitam efetuar uma fatoração LU da matriz:
A=\left[\begin{array}{rr} 3 & -6 \\\\ -2 & 5 \end{array}\right]
Escolha urna opção:
a. L=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ -2 & 1\end{array}\right] e U=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]
b. L=\left[\begin{array}{rr}3 & 0 \\\\ -2 & 1\end{array}\right] e U=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]
c. L=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ -1 / 2 & 1\end{array}\right] e U=\left[\begin{array}{rr}-2 & 1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right]
d. L=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\\\ -2 & 5\end{array}\right] e U=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\\\ 0 & 5\end{array}\right]
e. L=\left[\begin{array}{cc}1 / 3 & 0 \\\\ -1 / 2 & 1\end{array}\right] e U=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 / 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a fatoração A = LU para
A = \begin{pmatrix}3 & -6 \\[6pt] -2 & 5\end{pmatrix},
onde L é triangular inferior e U triangular superior. Para escolher entre as opções, vamos usar o método de Crout, que impõe u_{11}=u_{22}=1, facilitando a identificação nos candidatos.]

Passo 2

Pelo método de Crout temos as fórmulas
\begin{aligned} \ell_{11} &= a_{11},\\\ \ell_{21} &= a_{21},\\\ u_{12} &= a_{12}/\ell_{11},\\\ \ell_{22} &= a_{22}-\ell_{21}\,u_{12},\\\ u_{22} &= 1, \end{aligned}
pois fixamos u_{11}=1 e u_{22}=1.

Passo 3

Aplicando aos elementos de A:
\begin{aligned} \ell_{11} &= 3,\\\ \ell_{21} &= -2,\\\ u_{12} &= \frac{-6}{3} = -2,\\\ \ell_{22} &= 5 - (-2)\cdot(-2) = 5 - 4 = 1,\\\ u_{22} &= 1. \end{aligned}
Logo
L = \begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Comparando com as opções, vemos que é exatamente a alternativa (b).

Resposta

(b) L=\begin{pmatrix}3&0\\\ -2&1\end{pmatrix} e U=\begin{pmatrix}1&-2\\\ 0&1\end{pmatrix}.

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