Encontre uma mudança de coordenadas que reescreva a forma quadrática
sem termos cruzados e classifique
em relação ao sinal.
Escolha uma opção:
a. Existe mudança de coordenadas
tal que
, e
é positiva definida.
b. Existe mudança de coordenadas
tal que
, e
é indefinida.
c. Existe mudança de coordenadas
tal que
e
é indefinida.
d. Existe mudança de coordenadas
tal que
e
é indefinida.
e. Existe mudança de coordenadas
tal que
e
é negativa definida.
sem termos cruzados e classifique
a. Existe mudança de coordenadas
b. Existe mudança de coordenadas
c. Existe mudança de coordenadas
d. Existe mudança de coordenadas
e. Existe mudança de coordenadas
Passo 1
O enunciado pede para eliminar o termo cruzado da forma quadrática
por uma mudança de variáveis
e, em seguida, classificar
quanto ao sinal (definida, indefinida etc.). O conteúdo envolve diagonalização de matriz simétrica associada à forma quadrática.
Passo 2
Associamos
à matriz simétrica
pois
Passo 3
Calculamos os autovalores resolvendo
As raízes são
Passo 4
Para
um autovetor é
, pois
.
Para um autovetor é
, pois
.
Escolhendo como colunas de primeiro o autovetor de
e depois o de
, ou seja
Para
Escolhendo como colunas de
temos a mudança
que leva a
sem termos cruzados.]
Passo 5
Como há um autovalor positivo e outro negativo, a forma quadrática é indefinida.
Resposta
b. Existe mudança de coordenadas
tal que
, e
é indefinida.