Encontre uma mudança de coordenadas que reescreva a forma quadrática

Q\left(x_{1}, x_{2}\right)=5 x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+8 x_{1} x_{2}
sem termos cruzados e classifique Q em relação ao sinal.
Escolha uma opção:
a. Existe mudança de coordenadas \vec{x}=P \vec{y} tal que \widetilde{Q}\left(y_{1}, y_{2}\right)=3 y_{1}^{2}+7 y_{2}^{2}, e Q é positiva definida.
b. Existe mudança de coordenadas \vec{x}=P \vec{y} tal que \widetilde{Q}\left(y_{1}, y_{2}\right)=-3 y_{1}^{2}+7 y_{2}^{2}, e Q é indefinida.
c. Existe mudança de coordenadas \vec{x}=P \vec{y} tal que \widetilde{Q}\left(y_{1}, y_{2}\right)=5 y_{1}^{2}-y_{2}^{2} e Q é indefinida.
d. Existe mudança de coordenadas \vec{x}=P \vec{y} tal que \widetilde{Q}\left(y_{1}, y_{2}\right)=-y_{1}^{2}+5 y_{2}^{2} e Q é indefinida.
e. Existe mudança de coordenadas \vec{x}=P \vec{y} tal que \widetilde{Q}\left(y_{1}, y_{2}\right)=-3 y_{1}^{2}-7 y_{2}^{2} e Q é negativa definida.

Passo 1

O enunciado pede para eliminar o termo cruzado da forma quadrática
Q(x_{1},x_{2}) = 5x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 8x_{1}x_{2}
por uma mudança de variáveis \vec{x}=P\vec{y} e, em seguida, classificar Q quanto ao sinal (definida, indefinida etc.). O conteúdo envolve diagonalização de matriz simétrica associada à forma quadrática.

Passo 2

Associamos Q à matriz simétrica
A = \begin{pmatrix}5 & 4\\[6pt]4 & -1\end{pmatrix},
pois
Q(x)=\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos os autovalores resolvendo
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}5-\lambda & 4\\[4pt]4 & -1-\lambda\end{pmatrix} = (5-\lambda)(-1-\lambda)-16 =\lambda^{2}-4\lambda-21=0.
As raízes são
\lambda = \frac{4\pm\sqrt{16+84}}{2} =\frac{4\pm10}{2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{1}=7,\;\lambda_{2}=-3.]

Passo 4

Para \lambda_{1}=7 um autovetor é \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}, pois (A-7I)(2,1)^{T}=0.
Para \lambda_{2}=-3 um autovetor é \begin{pmatrix}-1\\\ 2\end{pmatrix}, pois (A+3I)(-1,2)^{T}=0.
Escolhendo como colunas de P primeiro o autovetor de \lambda_{2} e depois o de \lambda_{1}, ou seja
P = \begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix},
temos a mudança \vec{x}=P\vec{y} que leva a
\widetilde Q(y_{1},y_{2}) =-3\,y_{1}^{2}+7\,y_{2}^{2},
sem termos cruzados.]

Passo 5

Como há um autovalor positivo e outro negativo, a forma quadrática é indefinida.

Resposta

b. Existe mudança de coordenadas \vec{x}=P\vec{y} tal que \widetilde{Q}(y_{1},y_{2})=-3\,y_{1}^{2}+7\,y_{2}^{2}, e Q é indefinida.

Exercícios relacionados