As perguntas são:
(a) Encontrar A^{-1} usando eliminação gaussiana sobre a identidade (diz que três operações elementares são suficientes).\n
(b) Se E_{1},E_{2},E_{3} são as matrizes elementares correspondentes às operações elementares do item (a), verificar que \;E_{3}E_{2}E_{1}A=I😉 e que E_{1} corresponde à 1ª operação.\n
(c) Checar que A^{-1}=E_{3}E_{2}E_{1}.\n
(d) Checar que A=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}E_{3}^{-1}.\n
Informações úteis que já temos no enunciado: o número de operações (três) e que E_{1} é a matriz elementar da primeira operação. Não usar nada além disso agora — a resolução começa no Passo 2.]
Passo 2
Vamos inverter A pelo método padrão: formar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações de linha até transformar A em I. As operações que fazem isso são (vou explicitar e depois justificar):
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}.
R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}.
R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}.
Por que essas operações? Observa que A é triangular inferior com 1s na diagonal; para zerar os elementos abaixo da diagonal na primeira coluna, subtraímos múltiplos da primeira linha das outras linhas: para zerar o 2 em (2,1) fazemos R_{2}-2R_{1}; para zerar o 3 em (3,1) fazemos R_{3}-3R_{1}. Depois, ao zerar já a primeira coluna, resta só eliminar o elemento -1 em (3,2); como depois das duas primeiras operações a posição (2,2) vale 1, fazemos R_{3}+R_{2} para zerar (3,2). Essas três operações transformam A em I.
Comentário didático: o procedimento que fizemos é exatamente aplicar, da esquerda, matrizes elementares que representam as operações de linha. Ao transformar [A\mid I] em [I\mid X] obtivemos X=A^{-1}.]
Passo 4
Agora construo explicitamente as matrizes elementares E_{1},E_{2},E_{3} que representam as operações realizadas. Regra prática: a matriz elementar correspondente a R_{i}\leftarrow R_{i}+kR_{j} é a identidade com o escalar k na posição (i,j).
1ª operação: R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} tem k=-2 em (2,1). Logo
Explicando a conexão: multiplicar A pela esquerda por E_{1} efetua a operação R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} em A; multiplicar por E_{2} executa a 2ª operação, e assim por diante. Portanto E_{3}E_{2}E_{1}A aplica as três operações sucessivamente em A.]
Passo 5
Verifico explicitamente que E_{3}E_{2}E_{1}A=I fazendo as multiplicações passo a passo (isso é apenas aplicar as mesmas operações, agora via multiplicação de matrizes).
Portanto a verificação pedida em (b) está pronta: E_{3}E_{2}E_{1}A=I, e E_{1} é a matriz elementar da 1ª operação como mostramos.]
Passo 6
Da igualdade E_{3}E_{2}E_{1}A=I segue que E_{3}E_{2}E_{1}=A^{-1} (porque se X A = I então X=A^{-1}). Vou multiplicar E_{3}E_{2}E_{1} para ver que dá exatamente a matriz obtida no Passo 3.
Posso também construir explicitamente as inversas E_{1}^{-1},E_{2}^{-1},E_{3}^{-1}. A inversa de uma matriz elementar que faz R_{i}\leftarrow R_{i}+kR_{j} é a matriz elementar que faz R_{i}\leftarrow R_{i}-kR_{j}. Assim: