Sejam as matrizes A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & -1 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right].
(a) Encontre a inversa de A usando elim. Gaussiana sobre a identidade. Três operações elementares são suficientes.
(b) Se E_{1}, E_{2}, E_{3} são as matrizes elementares correspondentes às op. elementares do item anterior, verifique que E_{3} E_{2} E_{1} A=I ; E_{1} corresponde à 1^{\mathrm{a}} op.
(c) Cheque que A^{-1}=E_{3} E_{2} E_{1}.
(d) Cheque que A=E_{1}^{-1} E_{2}^{-1} E_{3}^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] 3 & -1 & 1\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\[4pt] 0 & 1 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
As perguntas são:
(a) Encontrar A^{-1} usando eliminação gaussiana sobre a identidade (diz que três operações elementares são suficientes).\n
(b) Se E_{1},E_{2},E_{3} são as matrizes elementares correspondentes às operações elementares do item (a), verificar que \;E_{3}E_{2}E_{1}A=I😉 e que E_{1} corresponde à 1ª operação.\n
(c) Checar que A^{-1}=E_{3}E_{2}E_{1}.\n
(d) Checar que A=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}E_{3}^{-1}.\n
Informações úteis que já temos no enunciado: o número de operações (três) e que E_{1} é a matriz elementar da primeira operação. Não usar nada além disso agora — a resolução começa no Passo 2.]

Passo 2

Vamos inverter A pelo método padrão: formar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações de linha até transformar A em I. As operações que fazem isso são (vou explicitar e depois justificar):
  1. R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}.
  2. R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}.
  3. R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}.
Por que essas operações? Observa que A é triangular inferior com 1s na diagonal; para zerar os elementos abaixo da diagonal na primeira coluna, subtraímos múltiplos da primeira linha das outras linhas: para zerar o 2 em (2,1) fazemos R_{2}-2R_{1}; para zerar o 3 em (3,1) fazemos R_{3}-3R_{1}. Depois, ao zerar já a primeira coluna, resta só eliminar o elemento -1 em (3,2); como depois das duas primeiras operações a posição (2,2) vale 1, fazemos R_{3}+R_{2} para zerar (3,2). Essas três operações transformam A em I.

Passo 3

Agora aplico essas operações à matriz aumentada [A\mid I]. Escrevo [A\mid I] inicialmente:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
1ª operação: R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}. Aplicando só nas colunas da direita (porque as da esquerda obedecem a mesma operação), obtemos
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Expliquei: na parte direita, a nova 2ª linha é [0,1,0] - 2\,[1,0,0]=[-2,1,0].
2ª operação: R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}. Aplicando,
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right].
Aqui a nova 3ª linha direita é [0,0,1]-3[1,0,0]=[-3,0,1].
3ª operação: R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}. Aplicando,
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -5 & 1 & 1 \end{array}\right].
Na parte direita, [-3,0,1]+[-2,1,0]=[-5,1,1].
Agora a parte esquerda já é I, então a parte direita é A^{-1}. Portanto
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 0\\[4pt] -5 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Comentário didático: o procedimento que fizemos é exatamente aplicar, da esquerda, matrizes elementares que representam as operações de linha. Ao transformar [A\mid I] em [I\mid X] obtivemos X=A^{-1}.]

Passo 4

Agora construo explicitamente as matrizes elementares E_{1},E_{2},E_{3} que representam as operações realizadas. Regra prática: a matriz elementar correspondente a R_{i}\leftarrow R_{i}+kR_{j} é a identidade com o escalar k na posição (i,j).
1ª operação: R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} tem k=-2 em (2,1). Logo
E_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(Isto confirma que E_{1} corresponde à 1ª operação, como pedido.)
2ª operação: R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}
E_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
3ª operação: R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}
E_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Explicando a conexão: multiplicar A pela esquerda por E_{1} efetua a operação R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} em A; multiplicar por E_{2} executa a 2ª operação, e assim por diante. Portanto E_{3}E_{2}E_{1}A aplica as três operações sucessivamente em A.]

Passo 5

Verifico explicitamente que E_{3}E_{2}E_{1}A=I fazendo as multiplicações passo a passo (isso é apenas aplicar as mesmas operações, agora via multiplicação de matrizes).
Calculo E_{1}A:
E_{1}A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] 3 & -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculo E_{2}(E_{1}A):
E_{2}\big(E_{1}A\big)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculo E_{3}\big(E_{2}E_{1}A\big):
E_{3}\big(E_{2}E_{1}A\big)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I.
Portanto a verificação pedida em (b) está pronta: E_{3}E_{2}E_{1}A=I, e E_{1} é a matriz elementar da 1ª operação como mostramos.]

Passo 6

Da igualdade E_{3}E_{2}E_{1}A=I segue que E_{3}E_{2}E_{1}=A^{-1} (porque se X A = I então X=A^{-1}). Vou multiplicar E_{3}E_{2}E_{1} para ver que dá exatamente a matriz obtida no Passo 3.
Primeiro E_{2}E_{1}:
E_{2}E_{1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 0\\[4pt] -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora E_{3}(E_{2}E_{1}):
E_{3}E_{2}E_{1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 0\\[4pt] -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 0\\[4pt] -5 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Isto coincide exatamente com a matriz A^{-1} que achamos no Passo 3. Assim (c) está checado: A^{-1}=E_{3}E_{2}E_{1}.]

Passo 7

Finalmente verifico (d). Primeiro noto uma relação geral: (XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}. Aplicando a \;A^{-1}=E_{3}E_{2}E_{1} obtemos
A=(A^{-1})^{-1}=(E_{3}E_{2}E_{1})^{-1}=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}E_{3}^{-1}.
Posso também construir explicitamente as inversas E_{1}^{-1},E_{2}^{-1},E_{3}^{-1}. A inversa de uma matriz elementar que faz R_{i}\leftarrow R_{i}+kR_{j} é a matriz elementar que faz R_{i}\leftarrow R_{i}-kR_{j}. Assim:
E_{1}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]2 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_{2}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]3 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_{3}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & -1 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}E_{3}^{-1} passo a passo teremos:
E_{2}^{-1}E_{3}^{-1}= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]3 & -1 & 1\end{pmatrix},
e então
E_{1}^{-1}(E_{2}^{-1}E_{3}^{-1})= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]2 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]3 & -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]2 & 1 & 0\\[4pt]3 & -1 & 1\end{pmatrix}=A.
Logo a igualdade de (d) está confirmada.]

Resposta

(a) \displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]-2 & 1 & 0\\[4pt]-5 & 1 & 1\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle E_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]-2 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]-3 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad E_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix}\quad\text{e}\quad E_{3}E_{2}E_{1}A=I.
(c) \displaystyle A^{-1}=E_{3}E_{2}E_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]-2 & 1 & 0\\[4pt]-5 & 1 & 1\end{pmatrix}.
(d) \displaystyle A=E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}E_{3}^{-1} com (\displaystyle E_{1}^{-1}= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]2 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix},;
E_{2}^{-1}= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]3 & 0 & 1\end{pmatrix},;
E_{3}^{-1}= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & -1 & 1\end{pmatrix}.)]

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