Encontre o máximo divisor comum de cada par de inteiros dados.
0 ; 111;

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o máximo divisor comum (MDC) do par de inteiros 0 e 111.
Dados relevantes: os números são 0 e 111. A pergunta é: qual é \gcd(0,111)?

Passo 2

O que é \gcd? Vou explicar de um jeito simples: para inteiros a e b, \gcd(a,b) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b.
Ou seja, um número d é um divisor comum de a e b se d\mid a e d\mid b. O \gcd(a,b) é o maior desses d (sempre tomado positivo).

Passo 3

Uma propriedade importante e muito útil para provas e provas rápidas: para qualquer inteiro n não nulo vale
\gcd(0,n)=|n|.
Explicação passo a passo do porquê isso é verdade:
  • Qualquer inteiro d que divide 0 satisfaz 0 = d\cdot 0, ou seja, todo inteiro divide 0. Portanto, os divisores comuns de 0 e n são exatamente os divisores de n.
  • Desses divisores de n, o maior inteiro positivo é |n|. Logo, o maior divisor comum entre 0 e n é |n|.
    Isso já é suficiente como justificativa. Outra forma curta (usando a definição da função \gcd) é notar que \gcd(a,0)=|a| e assim \gcd(0,n)=|n|.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao caso em questão: como 111\neq0, temos
\gcd(0,111)=|111|=111.
Para reforçar: a fatoração prima de 111 é 111=3\cdot 37, então os divisores positivos de 111 são 1,3,37,111. Como todo divisor comum de 0 e 111 deve estar nessa lista, o maior é 111.

Resposta

111

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