Encontre o máximo divisor comum de cada par de inteiros dados.
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o máximo divisor comum (MDC) do par de inteiros
e
.
Dados relevantes: os números são e
. A pergunta é: qual é
?
Dados relevantes: os números são
Passo 2
O que é
? Vou explicar de um jeito simples: para inteiros
e
,
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
.
Ou seja, um número é um divisor comum de
e
se
e
. O
é o maior desses
(sempre tomado positivo).
Ou seja, um número
Passo 3
Uma propriedade importante e muito útil para provas e provas rápidas: para qualquer inteiro
não nulo vale
Explicação passo a passo do porquê isso é verdade:
- Qualquer inteiro
que divide satisfaz , ou seja, todo inteiro divide . Portanto, os divisores comuns de e são exatamente os divisores de . - Desses divisores de
, o maior inteiro positivo é . Logo, o maior divisor comum entre e é .
Isso já é suficiente como justificativa. Outra forma curta (usando a definição da função) é notar que e assim .
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao caso em questão: como
, temos
Para reforçar: a fatoração prima de
é
, então os divisores positivos de
são
. Como todo divisor comum de
e
deve estar nessa lista, o maior é
.