Encontre o máximo divisor comum de cada par de inteiros dados.
-12 ; 18;

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o máximo divisor comum (MDC) do par de inteiros -12 e 18.
Informações dadas:
  • Primeiro inteiro: -12.
  • Segundo inteiro: 18.

Passo 2

O que significa “máximo divisor comum”?
Definição: dado dois inteiros a e b, o máximo divisor comum, denotado \gcd(a,b) ou MDC (a,b), é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b.
Importante: sinais não importam para divisibilidade, então
\gcd(-12,18)=\gcd(|-12|,|18|)=\gcd(12,18).
Vou trabalhar com os números positivos 12 e 18.

Passo 3

Vou mostrar duas maneiras simples e úteis para calcular o MDC — você pode usar a que preferir na prova:
  • Método A (fatoração em primos): fatorar cada número em primos e tomar o produto das bases com os menores expoentes comuns.
  • Método B (algoritmo de Euclides): fazer divisões sucessivas usando restos; é rápido e prático sem fatoração.
Vou explicar e aplicar os dois, passo a passo, para você entender bem.

Passo 4

Método A — fatoração em primos (passo a passo didático):
  • Fatorar 12:
    • 12 é par, divide por 2: 12=2\cdot6.
    • 6 é par, divide por 2: 6=2\cdot3.
    • 3 é primo.
    • Logo
    12 = 2^2\cdot3^1.
  • Fatorar 18:
    • 18 é par, divide por 2: 18=2\cdot9.
    • 9 divide por 3: 9=3\cdot3=3^2.
    • Logo
    18 = 2^1\cdot3^2.
  • Agora, para cada primo comum, tomamos o menor expoente entre os dois números:
    • Para o primo 2: expoentes são 2 (em 12) e 1 (em 18), então usamos 2^{\min(2,1)}=2^1.
    • Para o primo 3: expoentes são 1 (em 12) e 2 (em 18), então usamos 3^{\min(1,2)}=3^1.
  • O MDC é o produto desses fatores comuns: \gcd(12,18)=2^1\cdot3^1=2\cdot3=6.

Passo 5

Método B — algoritmo de Euclides (rápido, sem fatorar):
Princípio: \gcd(a,b)=\gcd(b,r) onde r é o resto da divisão de a por b. Repetir até resto ser zero; o último resto não nulo é o MDC.
Aplicando com os números positivos 18 e 12:
18 = 1\cdot 12 + 6,
o resto é 6. Agora aplicamos com 12 e 6:
12 = 2\cdot 6 + 0.
O resto tornou-se 0; o último resto não nulo foi 6. Portanto a conclusão do algoritmo é que o MDC é 6.

Passo 6

Verificação por lista de divisores (checagem simples e intuitiva):
  • Divisores de 12: 1,2,3,4,6,12.
  • Divisores de 18: 1,2,3,6,9,18.
    Os divisores comuns são 1,2,3,6; o maior é 6. Isso confirma os resultados anteriores.

Passo 7

Resumo e incentivo: ambos os métodos (fatoração em primos e algoritmo de Euclides) dão o mesmo resultado, \,6. O algoritmo de Euclides é ótimo para números maiores porque evita fatorar manualmente; a fatoração ajuda a entender a estrutura dos números. Você conseguiu! Respira e segue em frente — um problema de cada vez.

Resposta

6

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