Encontre o máximo divisor comum de cada par de inteiros dados.
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o máximo divisor comum (MDC) do par de inteiros
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Primeiro inteiro:
. - Segundo inteiro:
.
Passo 2
O que significa “máximo divisor comum”?
Definição: dado dois inteiros e
, o máximo divisor comum, denotado
ou MDC
, é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
.
Importante: sinais não importam para divisibilidade, então
Definição: dado dois inteiros
Importante: sinais não importam para divisibilidade, então
Vou trabalhar com os números positivos
e
.
Passo 3
Vou mostrar duas maneiras simples e úteis para calcular o MDC — você pode usar a que preferir na prova:
- Método A (fatoração em primos): fatorar cada número em primos e tomar o produto das bases com os menores expoentes comuns.
- Método B (algoritmo de Euclides): fazer divisões sucessivas usando restos; é rápido e prático sem fatoração.
Vou explicar e aplicar os dois, passo a passo, para você entender bem.
Passo 4
Método A — fatoração em primos (passo a passo didático):
- Fatorar
: -
é par, divide por : . -
é par, divide por : . -
é primo. - Logo
-
- Fatorar
: -
é par, divide por : . -
divide por : . - Logo
-
- Agora, para cada primo comum, tomamos o menor expoente entre os dois números:
- Para o primo
: expoentes são (em ) e (em ), então usamos . - Para o primo
: expoentes são (em ) e (em ), então usamos .
- Para o primo
- O MDC é o produto desses fatores comuns:
Passo 5
Método B — algoritmo de Euclides (rápido, sem fatorar):
Princípio: onde
é o resto da divisão de
por
. Repetir até resto ser zero; o último resto não nulo é o MDC.
Princípio:
Aplicando com os números positivos
e
:
o resto é
. Agora aplicamos com
e
:
O resto tornou-se
; o último resto não nulo foi
. Portanto a conclusão do algoritmo é que o MDC é
.
Passo 6
Verificação por lista de divisores (checagem simples e intuitiva):
- Divisores de
: . - Divisores de
: .
Os divisores comuns são; o maior é . Isso confirma os resultados anteriores.
Passo 7
Resumo e incentivo: ambos os métodos (fatoração em primos e algoritmo de Euclides) dão o mesmo resultado,
. O algoritmo de Euclides é ótimo para números maiores porque evita fatorar manualmente; a fatoração ajuda a entender a estrutura dos números. Você conseguiu! Respira e segue em frente — um problema de cada vez.