Encontre o máximo divisor comum de cada par de inteiros dados.
15 ; 35;

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o máximo divisor comum (MDC) do par de inteiros dados.
As informações fornecidas são os dois inteiros:
15,\qquad 35.

Passo 2

O que é o máximo divisor comum? Vou explicar de forma bem direta.
O máximo divisor comum de dois inteiros positivos é o maior inteiro positivo que divide ambos sem deixar resto. Em notação usamos \gcd(a,b) para denotar o MDC de a e b.
Exemplo simples: \gcd(6,9)=3 porque 3 é o maior número que divide 6 e 9.

Passo 3

Método escolhido: algoritmo de Euclides (rápido e confiável). Vou explicar a ideia: se a e b são inteiros com a>b>0, dividimos a por b e obtemos um quociente e resto:
a = b\cdot q + r,\qquad 0\le r<b.
Qualquer divisor comum de a e b também divide r. Portanto
\gcd(a,b)=\gcd(b,r).
Repetimos essa divisão até o resto ser zero; o último resto não nulo é o \gcd. É um procedimento muito prático para fazer na prova sem fatorar nada.

Passo 4

Aplicando o algoritmo de Euclides aos números dados. Primeiro, ordeno para ter o maior primeiro: a=35, b=15. Faço a divisão inteira:
35 = 15\cdot 2 + 5.
Aqui o resto é 5. Pelo algoritmo,
\gcd(35,15)=\gcd(15,5).
Agora divido 15 por 5:
15 = 5\cdot 3 + 0.
O resto agora é 0. O último resto não nulo foi 5. Então, pelo algoritmo, o MDC é 5.

Passo 5

Verificação por fatoração (checar é uma boa prática): fatoro os números em primos.
15 = 3\cdot 5, \qquad 35 = 5\cdot 7.
Os fatores primos em comum são apenas 5. O produto dos fatores comuns (com menor expoente) é 5. Isso confirma o resultado obtido pelo algoritmo de Euclides.

Passo 6

Resumo didático rápido para a prova: usar o algoritmo de Euclides é geralmente mais rápido — faça divisões sucessivas até obter resto zero; o último resto não nulo é o MDC. Como checagem, se os números forem pequenos, a fatoração em primos também funciona bem.

Resposta

\gcd(15,35)=5

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