Exemplo 7.6: Considere a superfície S do parabolóide z=x^{2}+y^{2}, com x^{2}+y^{2} \leq 4. Se a densidade (massa por unidade de área) em cada ponto (x, y, z) \in S é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo de simetria de S, calcule a massa total de S.
Solução: Como o eixo de simetria de S é o eixo z, a densidade em cada ponto (x, y, z) \in S pode ser representada pela função f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}. Portanto, a massa total M de S é dada por
\begin{aligned} M & =\iint_{S} f(x, y, z) d s=\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s= \\\ & =\int_{x^{2}+y^{2} \leq 4}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sqrt{1+4 x^{2}+4 y^{2}} d x d y \end{aligned}
Usando mudança polar para resolver a integral dupla, obtemos
\begin{aligned} & \int_{x^{2}+y^{2} \leq 4}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sqrt{1+4 x^{2}+4 y^{2}} d x d y=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2} r^{3} \sqrt{1+4 r^{2}} d r d \theta= \\\ & =\frac{2 \pi}{16}\left[\frac{\left(1+4 r^{2}\right)^{5 / 2}}{5}-\frac{\left(1+4 r^{2}\right)^{3 / 2}}{3}\right]_{r=0}^{r=2}=\frac{\pi}{60}(1+391 \sqrt{17}) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a massa total da superfície S do parabolóide z=x^{2}+y^{2} restrito à região x^{2}+y^{2}\le 4, quando a densidade superficial (massa por unidade de área) em cada ponto (x,y,z)\in S é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo de simetria de S. Informações dadas e o que se pede:
  • Superfície: S=\{(x,y,z)\mid z=x^{2}+y^{2},\\ x^{2}+y^{2}\le 4\}.
  • Densidade superficial no ponto (x,y,z): f(x,y,z)= (quadrado da distância ao eixo z) =x^{2}+y^{2}.
  • Objetivo: calcular a massa total
M=\iint_{S} f(x,y,z)\,dS.

Passo 2

Vamos escrever a integral de superfície para um gráfico z=g(x,y). Regra importante (explicação didática): se S é a superfície dada por z=g(x,y) sobre uma região D no plano xy, e se uma densidade superficial é f(x,y,z), então a massa total é
M=\iint_{S} f(x,y,z)\,dS=\iint_{D} f\bigl(x,y,g(x,y)\bigr)\sqrt{1+g_x(x,y)^2+g_y(x,y)^2}\;dx\,dy.
Aqui g_x e g_y são as derivadas parciais de g em relação a x e y; o fator \sqrt{1+g_x^2+g_y^2} aparece porque mede o aumento de área quando se passa da área infinitesimal dx\,dy no plano para a área infinitesimal na superfície.
No nosso caso g(x,y)=x^{2}+y^{2} e D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}. A densidade é f(x,y,g(x,y))=x^{2}+y^{2}. Portanto
M=\iint_{x^{2}+y^{2}\le 4} (x^{2}+y^{2})\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\;dx\,dy.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de g. Como g(x,y)=x^{2}+y^{2},
g_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x, \qquad g_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y.
Substituindo no fator da raiz obtemos
\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}=\sqrt{1+(2x)^{2}+(2y)^{2}}=\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}.
Logo a integral para M fica
M=\iint_{x^{2}+y^{2}\le 4} (x^{2}+y^{2})\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\;dx\,dy.

Passo 4

Como a região D e a integranda são radiais (dependem apenas de x^{2}+y^{2}), é natural usar coordenadas polares. Lembrando a mudança para polares (aula curta):
  • Substituições: x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta.
  • A quantidade x^{2}+y^{2} vira r^{2}.
  • O elemento de área planar dx\,dy vira r\,dr\,d\theta (esse r é o Jacobiano da transformação).
  • Os limites: para x^{2}+y^{2}\le 4 temos 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi.
Aplicando isso, a integranda (x^{2}+y^{2})\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\,dx\,dy vira r^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr\,d\theta. Assim
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr\,d\theta.

Passo 5

Separar a integral em \theta e r porque o integrando não depende de \theta:
M=\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{2} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr\right)=2\pi\int_{0}^{2} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr.
Agora focamos na integral radial
I=\int_{0}^{2} r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\;dr.

Passo 6

Resolver I por substituição conveniente. Faça a substituição
u=1+4r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=8r\,dr.
Precisamos expressar r^{3}\,dr em termos de u e du. Observe que r^{2}=(u-1)/4 e r\,dr=du/8. Assim
r^{3}\,dr = r^{2}\cdot r\,dr = \frac{u-1}{4}\cdot\frac{du}{8}=\frac{u-1}{32}\,du.
A raiz \sqrt{1+4r^{2}} é simplesmente \sqrt{u}=u^{1/2}. Portanto a integral fica
I=\int_{u(0)=1}^{u(2)=1+4\cdot 2^{2}=17} \frac{u-1}{32}\,u^{1/2}\,du = \frac{1}{32}\int_{1}^{17} \bigl(u^{3/2}-u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 7

Integrar termo a termo. Para potências u^{p} a integral é \int u^{p}\,du = \dfrac{u^{p+1}}{p+1}. Aplicando:
\int u^{3/2}\,du=\frac{2}{5}u^{5/2},\qquad \int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Logo
I=\frac{1}{32}\left[\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{17} =\frac{1}{16}\left[\frac{1}{5}u^{5/2}-\frac{1}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{17}.

Passo 8

Avaliar nos extremos u=17 e u=1. Primeiro calcule o termo dentro dos colchetes:
\left(\frac{1}{5}u^{5/2}-\frac{1}{3}u^{3/2}\right)\Bigg|_{1}^{17} =\left(\frac{1}{5}17^{5/2}-\frac{1}{3}17^{3/2}\right)-\left(\frac{1}{5}\cdot 1^{5/2}-\frac{1}{3}\cdot 1^{3/2}\right).
Simplificar a parte relativa a u=1:
\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{5}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{15}.
Portanto a diferença é
\frac{1}{5}17^{5/2}-\frac{1}{3}17^{3/2} +\frac{2}{15}.
Colocando em fator comum 17^{3/2} no primeiro dois termos:
\frac{1}{5}17^{5/2}-\frac{1}{3}17^{3/2}=17^{3/2}\!\left(\frac{17}{5}-\frac{1}{3}\right) =17^{3/2}\cdot\frac{46}{15}.
Então o resultado dentro dos colchetes é
17^{3/2}\cdot\frac{46}{15}+\frac{2}{15}=\frac{2}{15}\bigl(23\cdot 17^{3/2}+1\bigr).
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{16} que estava fora,
I=\frac{1}{16}\cdot\frac{2}{15}\bigl(23\cdot 17^{3/2}+1\bigr)=\frac{1}{120}\bigl(23\cdot 17^{3/2}+1\bigr).

Passo 9

Voltar à massa M=2\pi I. Assim
M=2\pi\cdot \frac{1}{120}\bigl(23\cdot 17^{3/2}+1\bigr)=\frac{\pi}{60}\bigl(23\cdot 17^{3/2}+1\bigr).
Notar que 23\cdot 17^{3/2}=23\cdot 17\sqrt{17}=391\sqrt{17}. Portanto uma forma mais compacta é
M=\frac{\pi}{60}\bigl(1+391\sqrt{17}\bigr).
Pequena motivação final: o processo usou a fórmula da integral de superfície para gráficos e a simetria radial para simplificar com polares; a substituição u=1+4r^{2} tornou a integral direta.

Resposta

\dfrac{\pi}{60}\bigl(1+391\sqrt{17}\bigr)

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