Exemplo 7.6: Considere a superfície S do parabolóide z=x^{2}+y^{2}, com x^{2}+y^{2} \leq 4. Se a densidade (massa por unidade de área) em cada ponto (x, y, z) \in S é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo de simetria de S, calcule a massa total de S.
Solução: Como o eixo de simetria de S é o eixo z, a densidade em cada ponto (x, y, z) \in S pode ser representada pela função f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}. Portanto, a massa total M de S é dada por
\begin{aligned} M & =\iint_{S} f(x, y, z) d s=\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s= \\\ & =\int_{x^{2}+y^{2} \leq 4}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sqrt{1+4 x^{2}+4 y^{2}} d x d y \end{aligned}
Usando mudança polar para resolver a integral dupla, obtemos
\begin{aligned} & \int_{x^{2}+y^{2} \leq 4}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sqrt{1+4 x^{2}+4 y^{2}} d x d y=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2} r^{3} \sqrt{1+4 r^{2}} d r d \theta= \\\ & =\frac{2 \pi}{16}\left[\frac{\left(1+4 r^{2}\right)^{5 / 2}}{5}-\frac{\left(1+4 r^{2}\right)^{3 / 2}}{3}\right]_{r=0}^{r=2}=\frac{\pi}{60}(1+391 \sqrt{17}) \end{aligned}
Passo 1
O enunciado pede a massa total da superfície S do parabolóide z=x^{2}+y^{2} restrito à região x^{2}+y^{2}\le 4, quando a densidade superficial (massa por unidade de área) em cada ponto (x,y,z)\in S é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo de simetria de S. Informações dadas e o que se pede:
Densidade superficial no ponto (x,y,z): f(x,y,z)= (quadrado da distância ao eixo z) =x^{2}+y^{2}.
Objetivo: calcular a massa total
M=\iint_{S} f(x,y,z)\,dS.
Passo 2
Vamos escrever a integral de superfície para um gráfico z=g(x,y). Regra importante (explicação didática): se S é a superfície dada por z=g(x,y) sobre uma região D no plano xy, e se uma densidade superficial é f(x,y,z), então a massa total é
Aqui g_x e g_y são as derivadas parciais de g em relação a x e y; o fator \sqrt{1+g_x^2+g_y^2} aparece porque mede o aumento de área quando se passa da área infinitesimal dx\,dy no plano para a área infinitesimal na superfície.
No nosso caso g(x,y)=x^{2}+y^{2} e D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}. A densidade é f(x,y,g(x,y))=x^{2}+y^{2}. Portanto
Como a região D e a integranda são radiais (dependem apenas de x^{2}+y^{2}), é natural usar coordenadas polares. Lembrando a mudança para polares (aula curta):
Substituições: x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta.
A quantidade x^{2}+y^{2} vira r^{2}.
O elemento de área planar dx\,dy vira r\,dr\,d\theta (esse r é o Jacobiano da transformação).
Os limites: para x^{2}+y^{2}\le 4 temos 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi.
Aplicando isso, a integranda (x^{2}+y^{2})\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}\,dx\,dy vira r^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\,dr\,d\theta. Assim
Notar que 23\cdot 17^{3/2}=23\cdot 17\sqrt{17}=391\sqrt{17}. Portanto uma forma mais compacta é
M=\frac{\pi}{60}\bigl(1+391\sqrt{17}\bigr).
Pequena motivação final: o processo usou a fórmula da integral de superfície para gráficos e a simetria radial para simplificar com polares; a substituição u=1+4r^{2} tornou a integral direta.