Calcule as integrais fazendo as seguintes substituições:

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral integral x,(4+x^2)^10,dx fazendo a substituição u=4+x^2. Isso é um caso clássico de integração por substituição, onde queremos reescrever tudo em função de u.

Passo 2

Para achar du, derivamos u=4+x^2 em relação a x:
du = 2x,dx
Logo, podemos isolar x,dx:
x,dx = du2

Passo 3

Agora substituímos na integral original. Como 4+x^2=u e x,dx=du/2, temos:
integral x,(4+x^2)^10,dx = integral u^10cdotdu2 = 12integral u^10,du

Passo 4

Basta integrar u^10. Sabendo que integral u^n,du = u^n+1/(n+1), obtemos:
12integral u^10,du = 12cdotu^1111 + C = u^1122 + C
Por fim, voltamos a x usando u=4+x^2.

Resposta

(4+x^2)^1122 + C

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