De um ponto P , externo a uma circunferência, traçamos um segmento de tangente \overline{P A} e um segmento de secante. O segmento externo da secante mede 4 cm e o segmento interno tem a mesma medida que o segmento \overline{P A}. Nessas condições, fazendo \sqrt{5}=2,33, determine:
a) a medida do segmento \overline{P A}
b) o comprimento do segmento da secante

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Temos um ponto P externo a uma circunferência.
  • Do ponto P foram traçados:
    • uma tangente \overline{PA} (com comprimento desconhecido);
    • uma secante que intercepta a circunferência em dois pontos. O segmento externo da secante (do ponto P até a primeira interseção) mede 4 cm; o segmento interno da secante (a parte dentro da circunferência, entre as duas interseções) tem a mesma medida que \overline{PA}.
  • Foi dada a aproximação \sqrt{5}=2,33.
As perguntas são:
a) determinar a medida do segmento \overline{PA};
b) determinar o comprimento do segmento da secante (isto é, o comprimento total do segmento da secante que vai de P até o ponto de saída da circunferência).

Passo 2

Vamos usar uma propriedade clássica (mostro e explico com calma): para um ponto externo P a uma circunferência, se traçarmos uma tangente de comprimento PA e uma secante que corta a circunferência nos pontos B e C (com B mais perto de P), então vale a relação
PA^{2} = PB \cdot PC.
O que isso significa em palavras: o quadrado do comprimento da tangente é igual ao produto do comprimento do segmento externo da secante pelo comprimento total da secante (externo + interno). Essa relação pode ser justificada pelo fato de que, na figura, surgem triângulos semelhantes entre o triângulo formado pela tangente e os triângulos formados pela secante, levando à igualdade dos produtos — mas aqui vamos aplicar a relação direto, pois é uma fórmula padrão que cai muito em provas.

Passo 3

Agora nomeamos as quantidades para aplicar a fórmula sem erro:
  • Seja t o comprimento de \overline{PA}, ou seja t = PA.
  • O segmento externo da secante é PB = 4 cm (dado).
  • O segmento interno da secante (a parte dentro da circunferência, entre B e C) mede exatamente t (dado).
  • Logo o comprimento total da secante PC é PB + BC = 4 + t.
Aplicando a propriedade do passo anterior, obtemos a equação
t^{2} = 4\cdot(4+t).

Passo 4

Resolvendo a equação passo a passo:
Primeiro expandimos o lado direito:
t^{2} = 16 + 4t.
Colocamos tudo em um lado para formar um polinômio quadrático:
t^{2} - 4t - 16 = 0.
Aqui é uma equação quadrática padrão at^{2}+bt+c=0 com a=1, b=-4, c=-16. Usamos a fórmula quadrática
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde o discriminante é \Delta = b^{2}-4ac.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-4)^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-16) = 16 + 64 = 80.
Portanto
t = \frac{4 \pm \sqrt{80}}{2}.
Simplificamos \sqrt{80}. Escrevemos 80 = 16\cdot 5, logo
\sqrt{80} = \sqrt{16\cdot 5} = 4\sqrt{5}.
Substituindo:
t = \frac{4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{5}.
Temos duas raízes, t = 2 + 2\sqrt{5} e t = 2 - 2\sqrt{5}. Como 2-2\sqrt{5} é negativo (pois \sqrt{5}>2), e um comprimento não pode ser negativo, descartamos essa raiz. Portanto a solução física é
t = 2 + 2\sqrt{5}.

Passo 5

Agora usamos a aproximação numérica dada \sqrt{5}=2,33 para obter o valor numérico pedido (faça as contas como na prova, sem calculadora, usando a aproximação dada):
t = 2 + 2\sqrt{5} = 2 + 2\cdot 2,33 = 2 + 4,66 = 6,66\\ \text{cm}.
Esse é o comprimento de \overline{PA}.

Passo 6

Calculamos o comprimento total da secante (o item b): como a parte externa mede 4 cm e a parte interna mede t, o comprimento total PC é
PC = 4 + t = 4 + (2 + 2\sqrt{5}) = 6 + 2\sqrt{5}.
Usando \sqrt{5}=2,33 obtemos
PC = 4 + 6,66 = 10,66\\ \text{cm}.

Resposta

a) 6,66\\ \text{cm}
b) 10,66\\ \text{cm}

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