Encontre o máximo e o mínimo absoluto para as funções a seguir, limitadas por suas respectivas regiões D :
z=4 x^2-3 y^2+2 x y com D=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1

Passo 1

O enunciado pede o máximo e o mínimo absolutos da função
z = 4x^2 - 3y^2 + 2xy
no quadrado fechado
D = (x,y)inR^2 mid 0 <= x <= 1,;0 <= y <= 1
Como D é compacto e z é contínua, pelo Teorema do Valor Extremo basta verificar:
  1. Pontos críticos no interior de D.
  2. Extremos ao longo de cada aresta de D.
  3. Canto(s) de D.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar pontos críticos no interior:
partial zpartial x = 8x + 2y, partial zpartial y = -6y + 2x
O sistema
8x + 2y = 0, -6y + 2x = 0
implica y = -4x e x = 3y. Substituindo, vem x=y=0, que é um ponto do contorno de D, não um interior não trivial.

Passo 3

Avaliamos z em (0,0):
z(0,0) = 0

Passo 4

Aresta x=0, yin[0,1]:
z(0,y) = -3y^2
É função quadrática decrescente em [0,1]. Logo
minyin[0,1] z(0,y) = z(0,1) = -3, maxyin[0,1] z(0,y) = z(0,0) = 0

Passo 5

Aresta x=1, yin[0,1]: definimos
g(y) = z(1,y) = 4 - 3y^2 + 2y
Temos
g'(y) = -6y + 2 = 0 implies y = tfrac13
Como g é côncava (coeficiente de y^2 negativo), esse é máximo local em [0,1]. Avaliando:
gl(tfrac13r) = 4 -3l(tfrac13r)^2 +2l(tfrac13r) = 4 - tfrac13 + tfrac23 = tfrac133
Nos extremos y=0 e y=1 obtemos g(0)=4 e g(1)=3. Então
maxyin[0,1] g(y) = tfrac133, minyin[0,1] g(y) = 3

Passo 6

Aresta y=0, xin[0,1]:
z(x,0) = 4x^2,
monótona crescente em [0,1]. Logo
min = z(0,0)=0, max = z(1,0)=4

Passo 7

Aresta y=1, xin[0,1]:
h(x) = z(x,1) = 4x^2 + 2x - 3
É uma parábola côncava para cima. O vértice fica em x = -tfrac22cdot4 = -tfrac14, fora de [0,1]. Então os extremos ocorrem em x=0 e x=1:
h(0) = -3, h(1)=3
Logo
minxin[0,1] h(x) = -3, maxxin[0,1] h(x) = 3

Passo 8

Reunindo todos os candidatos:
z(0,0)=0, z(1,0)=4, z(0,1)=-3, z(1,1)=3, zl(1,tfrac13r)=tfrac133
Assim o valor mínimo absoluto é -3 e o máximo absoluto é tfrac133.

Resposta

Mínimo absoluto: -3 em (0,1).
Máximo absoluto: tfrac133 em l(1,tfrac13r).

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