Encontre o máximo e o mínimo absoluto para as funções a seguir, limitadas por suas respectivas regiões
:
com
Passo 1
O enunciado pede o máximo e o mínimo absolutos da função
no quadrado fechado
Como
é compacto e
é contínua, pelo Teorema do Valor Extremo basta verificar:
- Pontos críticos no interior de
. - Extremos ao longo de cada aresta de
. - Canto(s) de
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar pontos críticos no interior:
O sistema
implica
y = -4x e
x = 3y . Substituindo, vem
x=y=0 , que é um ponto do contorno de
D , não um interior não trivial.
Passo 3
Avaliamos
z em
(0,0) :
Passo 4
Aresta
x=0 ,
yin[0,1] :
É função quadrática decrescente em
[0,1] . Logo
Passo 5
Aresta
x=1 ,
yin[0,1] : definimos
Temos
Como
g é côncava (coeficiente de
y^2 negativo), esse é máximo local em
[0,1] . Avaliando:
Nos extremos
y=0 e
y=1 obtemos
g(0)=4 e
g(1)=3 . Então
Passo 6
Aresta
y=0 ,
xin[0,1] :
monótona crescente em
[0,1] . Logo
Passo 7
Aresta
y=1 ,
xin[0,1] :
É uma parábola côncava para cima. O vértice fica em
x = -tfrac22cdot4 = -tfrac14 , fora de
[0,1] . Então os extremos ocorrem em
x=0 e
x=1 :
Logo
Passo 8
Reunindo todos os candidatos:
Assim o valor mínimo absoluto é
-3 e o máximo absoluto é
tfrac133 .
Resposta
Mínimo absoluto:
-3 em
(0,1) .
Máximo absoluto:tfrac133 em
l(1,tfrac13r) .
Máximo absoluto: