Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
y^(4)+2 y^prime prime+y=24 x sen x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
y^(4)+2y''+y = 24,xsin x
O conteúdo aqui é “equações lineares com coeficientes constantes” e “método dos coeficientes indeterminados”. Vamos precisar (1) achar a solução complementar resolvendo a equação característica e (2) encontrar uma solução particular adequada ao termo forçante 24xsin x.

Passo 2

Para a parte homogênea, fazemos a mudança y=e^rx. A equação característica é
r^4 + 2r^2 + 1 = 0
Escrevemos
r^4 +2r^2+1 = (r^2+1)^2 = 0
de onde r^2=-1 com multiplicidade 2. Logo as raízes são
r = i, r = -i,
cada uma com multiplicidade 2. A solução complementar fica então
yc = (C1 + C2 x)cos x + (C3 + C4 x)sin x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para
y^(4)+2y''+y = 24,xsin x
Como o operador diferencial é (D^2+1)^2 e o forçante é xsin x, há ressonância de ordem 2. Pelo método dos coeficientes indeterminados, tentamos
yp = x^2l[(A x + B)sin x + (C x + D)cos xr]
É conveniente escrever
U(x) = A x^3 + B x^2, V(x) = C x^3 + D x^2,
de modo que
yp = U(x),sin x + V(x),cos x

Passo 4

Definimos o operador L=(D^2+1)^2. Primeiro calculamos
w = (D^2+1)[yp]
usando a fórmula para D^2+1 atuando em Usin x+Vcos x. O resultado é
w = (U'' - 2V')sin x + (2U' + V'')cos x
Chamamos então
U2 = U'' - 2V', V2 = 2U' + V''
Aplicando de novo D^2+1 em w obtemos
L[yp] = (D^2+1)[w] = l(U2'' - 2V2'r)sin x + l(2U2' + V2''r)cos x
que deve igualar 24,xsin x + 0cdotcos x.

Passo 5

Agora substituímos
U = A x^3 + B x^2, V = C x^3 + D x^2
e calculamos
U2 = -6C x^2 + (6A - 4D)x + 2B, V2 = 6A x^2 + (4B+6C)x + 2D,
de onde
U2'' - 2V2' = -24A,x -8B -24C, 2U2' + V2'' = -24C,x +24A -8D
Igualando ao forçante,
-24A,x -8B -24C = 24x, -24C,x +24A -8D = 0,
obtemos o sistema
-24A = 24 ;Rightarrow; A = -1, -8B -24C = 0, -24C = 0 ;Rightarrow; C = 0, 24A -8D = 0
Daí C=0, A=-1, de -8B-24cdot0=0 vem B=0, e de 24(-1)-8D=0 vem D=-3.
Portanto
U(x) = -x^3, V(x) = -3x^2,
e
yp = -x^3sin x ;-;3x^2cos x

Resposta

A solução geral é
boxedy(x) = (C1 + C2 x)cos x + (C3 + C4 x)sin x ;-; x^3sin x ;-;3x^2cos x

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