O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é “equações lineares com coeficientes constantes” e “método dos coeficientes indeterminados”. Vamos precisar (1) achar a solução complementar resolvendo a equação característica e (2) encontrar uma solução particular adequada ao termo forçante .
Passo 2
Para a parte homogênea, fazemos a mudança . A equação característica é
Escrevemos
de onde com multiplicidade 2. Logo as raízes são
cada uma com multiplicidade 2. A solução complementar fica então
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular para
Como o operador diferencial é e o forçante é , há ressonância de ordem 2. Pelo método dos coeficientes indeterminados, tentamos
É conveniente escrever
de modo que
Passo 4
Definimos o operador . Primeiro calculamos
usando a fórmula para atuando em . O resultado é
Chamamos então
Aplicando de novo em obtemos
que deve igualar .
Passo 5
Agora substituímos
e calculamos
de onde
Igualando ao forçante,
obtemos o sistema
Daí C=0, A=-1, de -8B-24cdot0=0 vem B=0, e de 24(-1)-8D=0 vem D=-3.
Portanto
U(x) = -x^3, V(x) = -3x^2,
e
yp = -x^3sin x ;-;3x^2cos x
Resposta
A solução geral é
boxedy(x) = (C1 + C2 x)cos x + (C3 + C4 x)sin x ;-; x^3sin x ;-;3x^2cos x