INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido: limitado acima pela esfera rho=4 e abaixo pelo cone phi=pi / 3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica dentro da esfera rho=4 e “acima” do cone phi=pi/3. O conteúdo aqui é integramos em coordenadas esféricas, usando
dV = rho^2 sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 2

Precisamos descrever a região em termos de rho,phi,theta:
rho varia de 0 até 4 (até a esfera);
phi varia de 0 até pi/3 (acima do cone);
theta varia de 0 até 2pi (toda volta em torno do eixo z).

Passo 3

O volume fica
V = integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/3integralrho=0^4 rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Como a integral separa, primeiro integramos em rho e theta:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^4rho^2,drho = rho^33|0^4 = 643
Logo
V = 2pi cdot 643 integral0^pi/3sinphi ,dphi

Passo 5

Agora a integral em phi:
integral0^pi/3sinphi ,dphi = l[-cosphir]0^pi/3 = 1 - cos!tfracpi3 = 1 - tfrac12 = tfrac12
Substituindo,
V = 2pi cdot 643 cdot 12 = 64pi3

Resposta

64pi3

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