Encontre uma parametrização para
e a reta tangente a
no ponto
:
e
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Encontrar uma parametrização para a curva
definida por e - Encontrar a reta tangente a
no ponto .
Informações dadas e observações imediatas:
- A curva
é interseção de duas superfícies em : a superfície de equação e o plano de equação . - O ponto onde queremos a tangente é
, que deve pertencer a (verificação implícita pelo enunciado).
Passo 2
Reduzir a descrição de
a uma equação em
eliminando
.
Como o plano dá
, podemos substituir
na equação do paraboloide:
Agora manipulamos essa equação para reconhecer a forma geométrica (vai ficar mais fácil parametrizar). Subtraindo
dos dois lados:
Fazemos completar o quadrado em
. Lembrando que completar o quadrado para
consiste em escrever
Substituindo na equação:
Passo 3
Interpretação geométrica e ideia de parametrização.
A equação
é a equação de um círculo no plano paralelo ao plano
, centrado em
com raio
. Lembre-se que esta é a projeção no plano
; porém a curva
está no plano espacial dado por
. Como
, a coordenada
acompanha
. Portanto a curva
é um círculo situado na interseção do plano
com o paraboloide, cujo centro em
é
e raio
.
Para parametrizar um círculo centrado em
e raio
no plano
usamos o parâmetro angular
e as funções
e
:
Como
, temos
. Assim uma parametrização natural da curva
é
Verificação rápida do ponto pedido: para
obtemos
ou seja,
corresponde a
— ótimo.
Passo 4
Encontrar a reta tangente em
usando a parametrização (método padrão).
Para obter a direção tangente, derivamos
componente a componente. Lembre que derivada componente a componente dá um vetor tangente:
Avaliaremos em
(pois
):
Um vetor de direção equivalente, mais simples, é
(multiplicar por 2). Isso indica que a reta tangente em
está ao longo do eixo
passando por
.
Portanto a reta tangente pode ser escrita em forma paramétrica como
ou, de forma vetorial,
Passo 5
Checagem alternativa (intuição geométrica): direção tangente como produto vetorial dos normais.
Uma outra maneira de ver a direção tangente é notar que a direção tangente é ortogonal aos dois vetores normais das superfícies que intersectam. Tomando
temos os gradientes (normais):
No ponto
:
O produto vetorial
dá
que coincide com a direção que já encontramos para a tangente, confirmando que a reta é
e
variável.