Encontre uma parametrização para C e a reta tangente a C no ponto P :
C=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}=z\right. e \left.x=z\right\} e P=(1,0,1).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar uma parametrização para a curva C definida por x^{2}+y^{2}=ze x=z.
  • Encontrar a reta tangente a C no ponto P=(1,0,1).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A curva C é interseção de duas superfícies em \mathbb{R}^3: a superfície S_{1} de equação x^{2}+y^{2}-z=0 e o plano S_{2} de equação x-z=0.
  • O ponto onde queremos a tangente é P=(1,0,1), que deve pertencer a C (verificação implícita pelo enunciado).

Passo 2

Reduzir a descrição de C a uma equação em x,y eliminando z.
Como o plano dá \;x=z\;, podemos substituir \;z=x\; na equação do paraboloide:
x^{2}+y^{2}=z \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}=x.
Agora manipulamos essa equação para reconhecer a forma geométrica (vai ficar mais fácil parametrizar). Subtraindo x dos dois lados:
x^{2}-x+y^{2}=0.
Fazemos completar o quadrado em x. Lembrando que completar o quadrado para x^{2}-x consiste em escrever
x^{2}-x=\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}.
Substituindo na equação:
\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=0
\Rightarrow\quad \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.

Passo 3

Interpretação geométrica e ideia de parametrização.
A equação
\left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\tfrac{1}{4}
é a equação de um círculo no plano paralelo ao plano xy, centrado em \left(\tfrac{1}{2},0\right) com raio \tfrac{1}{2}. Lembre-se que esta é a projeção no plano xy; porém a curva C está no plano espacial dado por x=z. Como z=x, a coordenada z acompanha x. Portanto a curva C é um círculo situado na interseção do plano x=z com o paraboloide, cujo centro em \mathbb{R}^3 é \left(\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}\right) e raio \tfrac{1}{2}.
Para parametrizar um círculo centrado em \left(\tfrac{1}{2},0\right) e raio \tfrac{1}{2} no plano xy usamos o parâmetro angular t e as funções \cos e \sin:
x-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}\cos t, \qquad y=\tfrac{1}{2}\sin t, \qquad t\in[0,2\pi).
Como z=x, temos z=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cos t. Assim uma parametrização natural da curva C é
\mathbf{r}(t)=\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cos t,\;\tfrac{1}{2}\sin t,\;\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cos t\right), \qquad t\in[0,2\pi).
Verificação rápida do ponto pedido: para t=0 obtemos
\mathbf{r}(0)=\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot1,\;0,\;\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cdot1\right)=(1,0,1)=P,
ou seja, P corresponde a t=0 — ótimo.

Passo 4

Encontrar a reta tangente em P usando a parametrização (método padrão).
Para obter a direção tangente, derivamos \mathbf{r}(t) componente a componente. Lembre que derivada componente a componente dá um vetor tangente:
\mathbf{r}'(t)=\left(-\tfrac{1}{2}\sin t,\;\tfrac{1}{2}\cos t,\;-\tfrac{1}{2}\sin t\right).
Avaliaremos em t=0 (pois \mathbf{r}(0)=P):
\mathbf{r}'(0)=\left(-\tfrac{1}{2}\sin 0,\;\tfrac{1}{2}\cos 0,\;-\tfrac{1}{2}\sin 0\right)=\left(0,\;\tfrac{1}{2},\;0\right).
Um vetor de direção equivalente, mais simples, é \,(0,1,0)\, (multiplicar por 2). Isso indica que a reta tangente em P está ao longo do eixo y passando por P.
Portanto a reta tangente pode ser escrita em forma paramétrica como
\ell(s)=\left(1,\;s,\;1\right),\qquad s\in\mathbb{R},
ou, de forma vetorial,
\ell(s)=(1,0,1)+s(0,1,0).

Passo 5

Checagem alternativa (intuição geométrica): direção tangente como produto vetorial dos normais.
Uma outra maneira de ver a direção tangente é notar que a direção tangente é ortogonal aos dois vetores normais das superfícies que intersectam. Tomando
F_{1}(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z,\qquad F_{2}(x,y,z)=x-z,
temos os gradientes (normais):
\nabla F_{1}=(2x,2y,-1),\qquad \nabla F_{2}=(1,0,-1).
No ponto P=(1,0,1):
\nabla F_{1}(P)=(2,0,-1),\qquad \nabla F_{2}(P)=(1,0,-1).
O produto vetorial \nabla F_{1}(P)\times\nabla F_{2}(P)
(2,0,-1)\times(1,0,-1)=(0,1,0),
que coincide com a direção que já encontramos para a tangente, confirmando que a reta é x=1,\;z=1 e y variável.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cos t,\;\tfrac{1}{2}\sin t,\;\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cos t\right),\\ t\in[0,2\pi)
\ell(s)=(1,s,1),\\ s\in\mathbb{R}

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