Determine o polinômios de Taylor de segunda ordem para a seguinte função f(x, y)=sin 2 x+cos y para ( x, y) próximo do ponto (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função $ f(x, y) = \sin(2x) + \cos(y) $ perto do ponto $ (0, 0) $. Isso envolve usar a expansão de Taylor, que aproxima funções complicadas por polinômios mais simples. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função até a segunda ordem e avaliar elas no ponto $ (0, 0) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o polinômio de Taylor de segunda ordem para funções de duas variáveis. A fórmula geral é:
P2(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) + 12fxx(a, b)(x - a)^2 + fxy(a, b)(x - a)(y - b) + 12fyy(a, b)(y - b)^2
Como estamos expandindo em torno de $ (0, 0) $, $ a = 0 $ e $ b = 0 $. Então, simplificando:
(0, 0)

Passo 3

Vamos calcular cada termo passo a passo. Primeiro, calculamos $ f(0, 0) $:
f(0, 0)

Passo 4

Agora, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
f
x
Avaliar em $ (0, 0) $:
y
fx(x, y) = partialpartial x [sin(2x) + cos(y)] = 2cos(2x)

Passo 5

Agora, vamos para as segundas derivadas parciais:
fxx(x, y) = partialpartial x [2cos(2x)] = -4sin(2x)
fxy(x, y) = partialpartial y [2cos(2x)] = 0
fyy(x, y) = partialpartial y [-sin(y)] = -cos(y)
Avaliar em $ (0, 0) $:
(0, 0)
fxx(0, 0) = -4sin(0) = 0
fxy(0, 0) = 0

Passo 6

Agora, vamos colocar tudo na fórmula do polinômio de Taylor:
P2(x, y) = 1 + 2x + 0 cdot y + 12(0)x^2 + 0 cdot xy + 12(-1)y^2
Simplificando:
P2(x, y) = 1 + 2x - 12y^2

Resposta

O polinômio de Taylor de segunda ordem para $ f(x, y) = \sin(2x) + \cos(y) $ perto de $ (0, 0) $ é:
f(x, y) = sin(2x) + cos(y)

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