Determine o polinômios de Taylor de segunda ordem para a seguinte função
para (
) próximo do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o polinômio de Taylor de segunda ordem para a função $ f(x, y) = \sin(2x) + \cos(y) $ perto do ponto $ (0, 0) $. Isso envolve usar a expansão de Taylor, que aproxima funções complicadas por polinômios mais simples. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função até a segunda ordem e avaliar elas no ponto $ (0, 0) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o polinômio de Taylor de segunda ordem para funções de duas variáveis. A fórmula geral é:
Como estamos expandindo em torno de $ (0, 0) $, $ a = 0 $ e $ b = 0 $. Então, simplificando:
Passo 3
Vamos calcular cada termo passo a passo. Primeiro, calculamos $ f(0, 0) $:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
Avaliar em $ (0, 0) $:
Passo 5
Agora, vamos para as segundas derivadas parciais:
Avaliar em $ (0, 0) $:
Passo 6
Agora, vamos colocar tudo na fórmula do polinômio de Taylor:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Taylor de segunda ordem para $ f(x, y) = \sin(2x) + \cos(y) $ perto de $ (0, 0) $ é: