Mostre que
lim (x, y (0,0)) x y+x^3 y^2x^2+y^2
não existe.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que o limite
lim(x,y)to(0,0) xy + x^3y^2x^2 + y^2
não existe. Isso é um problema de limite de função de duas variáveis, então o que a gente precisa lembrar é: “pra esse limite existir, o valor tem que ser o mesmo vindo de qualquer direção”. Uma técnica clássica é testar caminhos diferentes (ou seja, escolher relações entre e ) e ver se o resultado bate.

Passo 2

Primeiro caminho: escolhe f(x,0) = xcdot 0 + x^3cdot 0^2x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0 .
Substituindo na função:
limxto0 f(x,0) = 0
Como , isso claramente dá

Passo 3

Segundo caminho: escolhe f(x,x) = xcdot x + x^3cdot x^2x^2 + x^2 = x^2 + x^52x^2 = x^22x^2 + x^52x^2 = 12 + x^32 .
Substituindo:
limxto0 f(x,x) = 12
Agora, quando , o termo , então

Passo 4

A teoria diz que, se o limite existisse, o resultado teria de ser o mesmo para todos os caminhos. Mas a gente achou:
– pela reta , o limite é .
– pela reta , o limite é .
Eles são diferentes! Logo, o limite não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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