Seja f(x, y)=raiz3 x+y^2. Justifique a diferenciabilidade de f em (1,2). Encontre a direção u onde a derivada Du f(1,2) é a maior possível.

Passo 1

Beleza, a gente tem a função
f(x,y)=raiz3x+y^2
e quer (1) justificar que ela é diferenciável em e (2) achar a direção unitária em que a derivada direcional é máxima.
Isso é Cálculo Diferencial; vamos precisar da definição de diferenciabilidade (composição de funções suaves), da noção de gradiente e da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, diferenciabilidade:
  1. Definimos e .
  2. é polinomial, logo é diferenciável em todo lugar.
  3. é diferenciável sempre que . No nosso ponto, .
  4. Composição de diferenciáveis é diferenciável. Logo é diferenciável em .

Passo 3

Agora calculamos o gradiente partial fpartial x =12(3x+y^2)^-1/2cdot3 =32raiz3x+y^2, .
Para partial fpartial y =12(3x+y^2)^-1/2cdot2y =yraiz3x+y^2 , pela regra da cadeia:
raiz3cdot1+2^2=raiz7, nabla f(1,2)=l(32raiz7,,2raiz7r)
Em :

Passo 4

Teoria da derivada direcional:
Du f(1,2)=nabla f(1,2)cdot u
Isso é máximo quando u=nabla f(1,2)|nabla f(1,2)| tem a mesma direção de e é unitário. Então

Passo 5

Vamos normalizar |nabla f(1,2)| =raizl(tfrac32raiz7r)^2+l(tfrac2raiz7r)^2 =raiz94cdot7+47 =raiz9+1628 =52raiz7 :
u =l(tfrac32raiz7,,tfrac2raiz7r)/52raiz7 =l(tfrac35,,tfrac45r)
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Resposta

A direção onde boxedu=l(tfrac35,tfrac45r) é máxima é

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