Seja
. Justifique a diferenciabilidade de f em
. Encontre a direção
onde a derivada
é a maior possível.
Passo 1
Beleza, a gente tem a função
e quer (1) justificar que ela é diferenciável em
e (2) achar a direção unitária
em que a derivada direcional
é máxima.
Isso é Cálculo Diferencial; vamos precisar da definição de diferenciabilidade (composição de funções suaves), da noção de gradiente e da derivada direcional.
Isso é Cálculo Diferencial; vamos precisar da definição de diferenciabilidade (composição de funções suaves), da noção de gradiente e da derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, diferenciabilidade:
- Definimos
e . -
é polinomial, logo é diferenciável em todo lugar. -
é diferenciável sempre que . No nosso ponto, . - Composição de diferenciáveis é diferenciável. Logo
é diferenciável em .
Passo 3
Agora calculamos o gradiente
.
Para , pela regra da cadeia:
Para
Em
:
Passo 4
Teoria da derivada direcional:
Isso é máximo quando
tem a mesma direção de
e é unitário. Então
Passo 5
Vamos normalizar
:
Logo
Resposta
A direção onde
é máxima é