Use o Teorema de Green para calcular a integral do linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC(1-y^3) d x+(x^3+e^y^3) d y
onde C é o limite da região entre círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral de linha ao longo da curva C , que é a fronteira entre dois círculos: x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9 . A orientação positiva significa que vamos percorrer o contorno no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Precisamos identificar as funções P e Q na integral dada e calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Vamos escrever a integral de linha na forma padrão de Green:
ointC P,dx + Q,dy
Comparando com o que foi dado:
P = 1 - y^3 e Q = x^3 + e^y^3

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde D é a região entre os dois círculos.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^3 + e^y^3 ) = 3x^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( 1 - y^3 ) = -3y^2

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( 3x^2 - (-3y^2) ) dA = integral duplaD (3x^2 + 3y^2) dA = 3 integral duplaD (x^2 + y^2) dA

Passo 6

Como a região D está entre dois círculos, é conveniente usar coordenadas polares. Sabemos que x^2 + y^2 = r^2 em polares. A integral se torna:
3 integral0^2pi integral2^3 r^2 cdot r , dr , dtheta = 3 integral0^2pi integral2^3 r^3 , dr , dtheta

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a r :
integral2^3 r^3 , dr = [ r^44 ]2^3 = 814 - 164 = 654
Então, a integral fica:
3 cdot 654 integral0^2pi dtheta = 1954 cdot 2pi = 1952 pi

Resposta

A integral de linha ao longo da curva C é 1952 pi .

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