Use o Teorema de Green para calcular a integral do linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
onde
é o limite da região entre círculos
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral de linha ao longo da curva
, que é a fronteira entre dois círculos:
e
. A orientação positiva significa que vamos percorrer o contorno no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Precisamos identificar as funções
e
na integral dada e calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 2
Vamos escrever a integral de linha na forma padrão de Green:
Comparando com o que foi dado:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
onde
é a região entre os dois círculos.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 6
Como a região
está entre dois círculos, é conveniente usar coordenadas polares. Sabemos que
em polares. A integral se torna:
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral de linha ao longo da curva
é
.