Encontre os máximos e minimis:
f(x, y)=x^{2}+y^{2}, x y=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da função de duas variáveis
f(x,y)=x^{2}+y^{2}
sujeita à restrição
g(x,y)=x\,y-1=0.
O conteúdo é otimização com restrição e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Construímos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=x^{2}+y^{2}-\lambda\,(x\,y-1).
As condições de ótimo são
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=2x-\lambda\,y=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=2y-\lambda\,x=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=x\,y-1=0.

Passo 4

Das duas primeiras igualdades obtemos
\lambda=\frac{2x}{y} \quad\text{e}\quad \lambda=\frac{2y}{x}
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\frac{2x}{y}=\frac{2y}{x} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=y^{2} \quad\Longrightarrow\quad y=\pm x.
Com a restrição x\,y=1 só há solução real se y=x, que leva a
x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm1,
e portanto os pontos críticos são (1,1) e (-1,-1).

Passo 5

Avaliando f nesses pontos:
f(1,1)=1^{2}+1^{2}=2, \quad f(-1,-1)=(-1)^{2}+(-1)^{2}=2.
Além disso, para \lvert x\rvert\to\infty (e y=1/x\to0) temos f\to\infty, então não existe máximo global, apenas mínimo global.

Resposta

Os mínimos globais ocorrem em (1,1) e (-1,-1) com valor mínimo 2. Não há máximo global, pois f(x,y) cresce sem limite.

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