Seja a superfície parametrizada por
\vec{X}(r, \theta)=(r \cos \theta, r \sin \theta, \theta), \quad \operatorname{com} r \in(0,1), \theta \in(0,2 \pi) .
Essa superfície é conhecida como helicóide, e sua projeção no plano x y é o disco unitário D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}.
Verifique que a área da helicóide é dada por:
A=2 \pi \int_{0}^{1} \sqrt{1+r^{2}} d r=\pi(\sqrt{2}+\log (1+\sqrt{2}))

Passo 1

O enunciado dá uma superfície helicoidal parametrizada por
\vec X(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;\theta\bigr), \quad r\in(0,1),\;\theta\in(0,2\pi),
e pede a área dessa superfície. O conteúdo usado será a fórmula de área de superfície parametrizada:
A = \iint_{R} \bigl\|\partial_r\vec X \times \partial_\theta\vec X\bigr\|\,dr\,d\theta.

Passo 2

Começamos calculando as derivadas parciais:
\partial_r\vec X = (\cos\theta,\;\sin\theta,\;0), \quad \partial_\theta\vec X = (-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;1).
Essas vetoriais vão permitir o cálculo do produto vetorial.

Passo 3

O produto vetorial fica
\partial_r\vec X \times \partial_\theta\vec X = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\ \cos\theta & \sin\theta & 0\\\\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 1 \end{vmatrix} = (\sin\theta\cdot1 - 0\cdot r\cos\theta,\; 0\cdot(-r\sin\theta)-\cos\theta\cdot1,\; \cos\theta\cdot r\cos\theta + \sin\theta\cdot r\sin\theta),
ou seja
\partial_r\vec X \times \partial_\theta\vec X = (\sin\theta,\;-\,\cos\theta,\;r).

Passo 4

O módulo desse vetor é
\bigl\|(\sin\theta,\;-\,\cos\theta,\;r)\bigr\| =\sqrt{\sin^2\theta + \cos^2\theta + r^2} =\sqrt{1 + r^2}.
Logo o integrando é \sqrt{1+r^2}.

Passo 5

Substituindo na fórmula de área,
A = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} \sqrt{1+r^2}\;dr\,d\theta = \Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr)\;\Bigl(\int_{0}^{1}\sqrt{1+r^2}\,dr\Bigr) =2\pi\int_{0}^{1}\sqrt{1+r^2}\,dr.

Passo 6

Para calcular
\displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{1+r^2}\,dr,
usamos a primitiva conhecida:
\int \sqrt{1+r^2}\,dr =\frac{r}{2}\sqrt{1+r^2}+\frac{1}{2}\log\bigl(r+\sqrt{1+r^2}\bigr).
Avaliando de 0 a 1
\int_{0}^{1}\sqrt{1+r^2}\,dr =\Bigl[\tfrac{r}{2}\sqrt{1+r^2}+\tfrac{1}{2}\log(r+\sqrt{1+r^2})\Bigr]_{0}^{1} =\frac{\sqrt2}{2}+\frac{1}{2}\log\bigl(1+\sqrt2\bigr).
Multiplicando por 2\pi resulta
A=2\pi\Bigl(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{1}{2}\log(1+\sqrt2)\Bigr) =\pi\bigl(\sqrt2+\log(1+\sqrt2)\bigr).

Resposta

A = 2\pi\int_{0}^{1}\sqrt{1+r^2}\,dr = \pi\bigl(\sqrt{2} + \log(1+\sqrt{2})\bigr).

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