\vec{X}(r, \theta)=(r \cos \theta, r \sin \theta, \theta), \quad \operatorname{com} r \in(0,1), \theta \in(0,2 \pi) .
Essa superfície é conhecida como helicóide, e sua projeção no plano x y é o disco unitário D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}.
Verifique que a área da helicóide é dada por:
A=2 \pi \int_{0}^{1} \sqrt{1+r^{2}} d r=\pi(\sqrt{2}+\log (1+\sqrt{2}))
Passo 1
O enunciado dá uma superfície helicoidal parametrizada por