Resolva as EDO’s de Euler-Cauchy não-homogêneas
-3 x^{2} y^{\prime \prime}+6 x y^{\prime}-6 y=3+\ln x^{3}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a EDO de Euler–Cauchy não-homogênea
-3\,x^{2}y''+6\,x\,y'-6\,y = 3 + \ln(x^{3}).
O procedimento é primeiro simplificar a equação dividindo por -3, depois resolver a parte homogênea com o método y=x^{m} e, por fim, encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

Dividindo a EDO por -3 obtemos
x^{2}y'' - 2\,x\,y' + 2\,y = -1 - \ln x.

Passo 3

Para a parte homogênea consideramos y_{h}=x^{m}. Substituindo em
x^{2}y'' - 2\,x\,y' + 2\,y = 0
vem a equação característica
m(m-1) - 2m + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; m^{2} - 3m + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; m=1,2.
Logo
y_{h} = C_{1}\,x + C_{2}\,x^{2}.

Passo 4

Para uma solução particular y_{p} do tipo
y_{p} = A + B\,\ln x
temos
y_{p}' = \frac{B}{x}, \quad y_{p}'' = -\,\frac{B}{x^{2}}.
Substituindo em x^{2}y'' - 2x\,y' + 2y resulta
-3B + 2A + 2B\,\ln x = -1 - \ln x.
Igualando coeficientes de \ln x e constantes:
2B = -1 \implies B = -\tfrac12,
-3B + 2A = -1 \implies 2A + \tfrac32 = -1 \implies A = -\tfrac54.
Portanto
y_{p} = -\frac54 \;-\;\frac12\,\ln x.

Passo 5

A solução geral da EDO não-homogênea é
y(x) = y_{h} + y_{p} = C_{1}\,x + C_{2}\,x^{2} - \frac54 - \frac12\,\ln x.

Resposta

y(x) = C_{1}\,x + C_{2}\,x^{2} \;-\;\frac54 \;-\;\frac12\,\ln x.

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