Água está entrando em um reservatório de concreto cônico a uma taxa de
. Tal reservatório tem vértice para baixo, com diâmetro da “base” (tampa) de 20 m e altura de 3 m . Encontre a taxa em que o nível de água está variando quando a profundidade de água no reservatório é de 2 m .
Passo 1
O enunciado descreve um reservatório cônico com vértice para baixo, raio da base
,m e altura total
,m. A água entra a
,
/min. Queremos encontrar a taxa
quando a profundidade da água é
,m. O conteúdo é de taxas relacionadas, envolvendo volume de cone e similaridade de triângulos.
Passo 2
Para cada altura
de água, o raio correspondente
obedece à semelhança de triângulos entre o cone cheio e o que está cheio de água:
Passo 3
O volume de um cone de raio
e altura
é
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Diferenciando em relação ao tempo
, usando derivada de potência:
Passo 5
No instante em que
,m, temos
Igualando e isolando
: