Água está entrando em um reservatório de concreto cônico a uma taxa de 9 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. Tal reservatório tem vértice para baixo, com diâmetro da “base” (tampa) de 20 m e altura de 3 m . Encontre a taxa em que o nível de água está variando quando a profundidade de água no reservatório é de 2 m .

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório cônico com vértice para baixo, raio da base R=10,m e altura total H=3,m. A água entra a \frac{dV}{dt}=9, m^{3}/min. Queremos encontrar a taxa \frac{dh}{dt} quando a profundidade da água é h=2,m. O conteúdo é de taxas relacionadas, envolvendo volume de cone e similaridade de triângulos.

Passo 2

Para cada altura h de água, o raio correspondente r obedece à semelhança de triângulos entre o cone cheio e o que está cheio de água:
\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{10}{3} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{10}{3} \, h.

Passo 3

O volume de um cone de raio r e altura h é
V = \frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h.
Substituindo r = \tfrac{10}{3}h, obtemos
V = \frac{1}{3}\,\pi\Bigl(\frac{10}{3}h\Bigr)^2 h = \frac{100\pi}{27}\,h^3.

Passo 4

Diferenciando em relação ao tempo t, usando derivada de potência:
\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{100\pi}{27}h^3\Bigr) = \frac{100\pi}{27}\cdot 3h^2 \,\frac{dh}{dt} = \frac{100\pi}{9}\,h^2\,\frac{dh}{dt}.

Passo 5

No instante em que h=2,m, temos
\frac{dV}{dt} = 9 \quad\text{e}\quad \frac{dV}{dt} = \frac{100\pi}{9}\,(2)^2\,\frac{dh}{dt} = \frac{400\pi}{9}\,\frac{dh}{dt}.
Igualando e isolando \frac{dh}{dt}:
9 = \frac{400\pi}{9}\,\frac{dh}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dh}{dt} = 9 \cdot \frac{9}{400\pi} = \frac{81}{400\pi}\\ \text{m/min}.

Resposta

\frac{dh}{dt} = \frac{81}{400\pi}\\ \text{m/min}.

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