Encontre os máximos e mínimos absolutos das seguintes funções, nos intervalos dados:
f(x)=\operatorname{arctg}\left(x^{2}\right) em [-1,1] \quad

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x)=\operatorname{arctg}\bigl(x^{2}\bigr)
no intervalo fechado [-1,1].
Conteúdo: para achar máximos e mínimos absolutos de uma função contínua em intervalo fechado, avaliamos os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou não existe) e os extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Seja u(x)=x^{2}, então
f(x)=\operatorname{arctg}(u)
e
u'(x)=2x,\quad\frac{d}{du}\,\operatorname{arctg}(u)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Pelo efeito da regra da cadeia,
f'(x)=\frac{1}{1+(x^{2})^{2}}\cdot 2x =\frac{2x}{1+x^{4}}.

Passo 3

Determinamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
\frac{2x}{1+x^{4}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
O denominador 1+x^{4} nunca zera, logo não há outros pontos críticos.

Passo 4

Avaliamos f em x=0 e nos extremos x=-1 e x=1:
f(0)=\operatorname{arctg}(0^{2})=\operatorname{arctg}(0)=0,
f(-1)=\operatorname{arctg}((-1)^{2})=\operatorname{arctg}(1)=\frac{\pi}{4},
f(1)=\operatorname{arctg}(1)=\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Comparamos os valores:
f(0)=0,\quad f(-1)=f(1)=\frac{\pi}{4}.
Portanto o menor valor é 0 em x=0 e o maior é \tfrac{\pi}{4} em x=-1 e x=1.

Resposta

Mínimo absoluto: f(0)=0.
Máximos absolutos: f(-1)=\tfrac{\pi}{4} e f(1)=\tfrac{\pi}{4}.

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