Encontre os máximos e mínimos locais, pontos de inflexão e intervalos onde a curva y=x^3-3 x+3 é crescente e decrescente. Justifique sua resposta.

Passo 1

Temos a função y = x^3 - 3x + 3. O conteúdo envolve usar derivadas para encontrar máximos e mínimos locais, teste da segunda derivada para classificar esses pontos, e análise de concavidade para achar pontos de inflexão e intervalos de crescimento/decrescimento.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada. Ela nos diz como a função varia:
y' = ddx(x^3 - 3x + 3) = 3x^2 - 3
Os pontos críticos surgem quando y'=0. Logo,
3x^2 - 3 = 0 implies x^2 = 1 implies x = -1,; x = 1

Passo 3

Para cada ponto, calculamos o valor de y:
y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 3 = -1 + 3 + 3 = 5,
y(1) = 1^3 - 3(1) + 3 = 1 - 3 + 3 = 1

Passo 4

Agora usamos a segunda derivada para classificar. Calculamos:
y'' = ddx(3x^2 - 3) = 6x
Em x=-1, temos y''(-1) = 6(-1) = -6 < 0, indicando máximo local em (-1,5).
Em x=1, temos y''(1) = 6(1) = 6 > 0, indicando mínimo local em (1,1).

Passo 5

Para o ponto de inflexão, buscamos onde y''=0:
6x = 0 implies x = 0
O valor correspondente é
y(0) = 0^3 - 3cdot0 + 3 = 3,
e como y'' muda de sinal em x=0, há um ponto de inflexão em (0,3).

Passo 6

Finalmente, analisamos o sinal de y'=3(x^2 -1): para |x|>1, x^2-1>0 então y'>0 (função crescente em (-infty,-1)cup(1,infty)); para -1, x^2-1<0 então y'<0 (função decrescente em (-1,1)).

Resposta

Máximo local em (-1,5); mínimo local em (1,1); ponto de inflexão em (0,3); crescente em (-∞,-1) ∪ (1,∞); decrescente em (-1,1).

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