Encontre os máximos e mínimos locais, pontos de inflexão e intervalos onde a curva
é crescente e decrescente. Justifique sua resposta.
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo envolve usar derivadas para encontrar máximos e mínimos locais, teste da segunda derivada para classificar esses pontos, e análise de concavidade para achar pontos de inflexão e intervalos de crescimento/decrescimento.
Passo 2
Calculemos a primeira derivada. Ela nos diz como a função varia:
Os pontos críticos surgem quando
Passo 3
Para cada ponto, calculamos o valor de
:
Passo 4
Agora usamos a segunda derivada para classificar. Calculamos:
Em
Em
Passo 5
Para o ponto de inflexão, buscamos onde
:
O valor correspondente é
e como
muda de sinal em
, há um ponto de inflexão em
.
Passo 6
Finalmente, analisamos o sinal de
: para
,
então
(função crescente em
); para
,
então
(função decrescente em
).
Resposta
Máximo local em (-1,5); mínimo local em (1,1); ponto de inflexão em (0,3); crescente em (-∞,-1) ∪ (1,∞); decrescente em (-1,1).