Resolver sistema de equação diferencial pelo Método por eliminação.
l d xd t=y+z d yd t=x+z d zd t=x+y
Observação: Utilizar o método da Eliminação na resolução
Justifique todas as suas respostas! Apresente seu cálculos.
Entregar no dia 17/02/2025

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais. Isso significa que temos várias equações que envolvem derivadas das funções que queremos encontrar. O nosso sistema é:
l dxdt = y + z dydt = x + z dzdt = x + y
A gente vai usar o Método por Eliminação para resolver esse sistema. Isso envolve combinar as equações de forma a eliminar uma das variáveis e simplificar o sistema para encontrar as soluções para x(t), y(t) e z(t).

Passo 2

Primeiro, vamos tentar descobrir alguma relação entre as derivadas das variáveis. Vamos somar todas as três equações do sistema:
dxdt + dydt + dzdt = (y + z) + (x + z) + (x + y)
Simplificando o lado direito:
ddt(x + y + z) = 2x + 2y + 2z
Podemos escrever isso como:
ddt(x + y + z) = 2(x + y + z)
Isso nos dá uma equação mais simples para trabalhar!

Passo 3

Vamos chamar S = x + y + z. Então, a equação fica:
dSdt = 2S
Essa é uma equação diferencial linear simples. Para resolver, a gente separa as variáveis:
dSS = 2dt
Integrando ambos os lados:
ln|S| = 2t + C
Onde C é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para S:
S = Ce^2t
Então, temos que:
x + y + z = Ce^2t

Passo 4

Agora, vamos voltar às equações originais e tentar encontrar relações entre as variáveis.
A primeira equação é:
dxdt = y + z
Mas sabemos que x + y + z = Ce^2t, então podemos resolver para y + z:
y + z = Ce^2t - x
Substituindo isso na primeira equação:
dxdt = Ce^2t - x
Agora temos uma equação diferencial para x(t) que podemos resolver.

Passo 5

Vamos resolver a equação:
dxdt + x = Ce^2t
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, encontramos um fator integrante. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)
Multiplicando a equação por $ e^{t} $:
mu(t) = e^integral 1 , dt = e^t
O lado esquerdo agora é a derivada do produto $ e^{t} x $:
e^t
Integrando ambos os lados:
e^t dxdt + e^t x = Ce^2t cdot e^t = Ce^3t
Onde $ K $ é a constante de integração. Então:
e^t x

Passo 6

Com $ x(t) $ encontrada, podemos usar a relação $ y + z = Ce^{2t} - x $ para encontrar $ y + z $:
x(t)
Agora, vamos usar a segunda equação do sistema para encontrar uma relação entre $ y $ e $ z $:
y + z = Ce^2t - x
Substituindo $ x = \frac{C}{3} e^{2t} + Ke^{-t} $:
y + z
Mas sabemos que $ z = \frac{2C}{3} e^{2t} - Ke^{-t} - y $ (usando a relação $ y + z = \frac{2C}{3} e^{2t} - Ke^{-t} $), então substituindo:
y + z = Ce^2t - ( C3 e^2t + Ke^-t ) = 2C3 e^2t - Ke^-t
Simplificando:
y

Passo 7

Agora, temos outra equação diferencial para $ y(t) $:
y(t)
Resolvendo de forma similar à que fizemos para $ x(t) $, o fator integrante é $ \mu(t) = e^{t} $.
Multiplicando a equação por $ e^{t} $:
dydt + y = C e^2t
O lado esquerdo é a derivada de $ e^{t} y $:
x(t)
Integrando ambos os lados:
mu(t) = e^t
Onde $ D $ é a constante de integração. Então:
e^t

Passo 8

Finalmente, usando a relação $ y + z = \frac{2C}{3} e^{2t} - Ke^{-t} $, podemos encontrar $ z(t) $:
y + z = 2C3 e^2t - Ke^-t
Substituindo $ y = \frac{C}{3} e^{2t} + De^{-t} $:
z(t)

Resposta

As soluções gerais do sistema são:
boxed x(t) = dfracC3 e^2t + Ke^-t y(t) = dfracC3 e^2t + De^-t z(t) = dfracC3 e^2t - (K + D) e^-t
Onde $ C $, $ K $ e $ D $ são constantes que podem ser determinadas se houver condições iniciais.

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